갈매동중3수학과외, 실생활 측정 문제에서 조건을 읽고 삼각비 선택하기
높이를 구하는 식보다 먼저 확인해야 할 것
“건물에서 20m 떨어진 지점에서 올려다본 각도가 30°이므로 높이는 20tan30°입니다.” 학생이 이렇게 답을 적었지만, 문제에는 관측자의 눈높이 1.5m가 함께 제시되어 있었다. 계산 자체는 시작했으나 무엇을 구한 값인지, 어느 선분과 각도가 연결되는지 구분하지 않은 상태였다.
중3 실생활 측정 문제에서 중요한 것은 공식을 빠르게 떠올리는 일이 아니다. 그림이나 문장에서 기준각을 찾고, 직각삼각형의 변 가운데 주어진 것과 구할 것을 정확히 대응시키는 과정이 먼저다. 갈매동중3수학과외에서는 측정 문제를 공식 암기 목록으로 정리하기보다 학생이 조건을 읽고 첫 식을 결정하는 장면을 확인한다.
학생이 tan을 고른 이유를 식으로 추적하기
한 학생에게 다음과 같은 상황을 제시했다.
지면의 한 지점에서 건물 꼭대기를 바라본 앙각은 30°이고, 건물 밑부분까지의 수평거리는 20m이다. 관측자의 눈높이는 1.5m이다. 건물의 높이를 구하여라.
학생은 그림을 그리지 않고 곧바로 tan30°=높이/20이라고 썼다. 여기서 tan을 선택한 것은 맞지만, 분자의 높이를 건물 전체 높이로 해석한 것이 문제였다. 삼각비에서 tan30°가 연결하는 높이는 관측자의 눈 위치에서 건물 꼭대기까지의 수직선분이다. 따라서 그 길이를 h라고 두면
tan30° = h/20
h = 20tan30° = 20/√3 = 20√3/3
이 값은 지면에서 건물 꼭대기까지가 아니라 눈높이에서 꼭대기까지의 높이다. 건물 전체 높이를 H라 하면
H = 1.5 + 20√3/3
로 정리해야 한다. 학생이 빠뜨린 것은 어려운 계산 공식이 아니라 ‘구한 선분의 시작점이 어디인가’라는 조건이었다.
기준각에서 대변과 인접변을 다시 표시하기
학생에게 공식을 외워 쓰게 하는 대신, 문제의 각도 옆에 기준각 표시를 하도록 했다. 관측자의 눈 위치를 A, 건물 꼭대기를 B, 건물 밑부분을 C라고 하면 ∠A는 30°이고, AC는 수평거리 20m, BC는 눈높이를 기준으로 한 수직 높이 차이다. 직각삼각형 ABC에서 AC는 기준각에 붙어 있는 인접변이고 BC는 기준각 맞은편의 대변이다.
따라서 대변과 인접변의 비를 사용하는 tan을 선택한다. 빗변이 주어진 상황이 아니므로 sin이나 cos를 억지로 적용하지 않는다. 학생은 풀이 용지에 ‘각 표시 → 구할 선분 표시 → 알고 있는 변과의 관계 선택’ 세 단계를 적고, 식을 쓰기 전에 대변과 인접변에 각각 표시했다.
같은 거리라도 구하는 대상이 바뀌면 식이 달라진다
다음 문제에서는 숫자보다 질문의 변화를 확인하게 했다.
높이 12m인 깃대의 꼭대기를 지면의 한 지점에서 바라본 앙각이 45°이다. 깃대에서 관측 지점까지의 거리를 구하여라.
학생은 앞 문제의 식을 그대로 가져와 12tan45°라고 적으려 했다. 그러나 이번에는 높이가 주어지고 수평거리를 구한다. 기준각 45°에서
tan45° = 12/x
1 = 12/x
x = 12
가 된다. 앞 문제에서는 수평거리가 분모에 주어져 높이를 구했지만, 이번에는 높이가 분자에 주어져 거리를 구한다. 같은 tan을 사용하더라도 ‘무엇을 구하는가’에 따라 미지수의 위치와 식의 변형이 달라진다.
이때 학생이 해야 할 수정 행동은 풀이를 외우는 것이 아니다. 문제에서 구하는 대상을 동그라미로 표시하고, 그 선분을 삼각비 식의 어느 위치에 놓을지 먼저 결정하는 것이다. 숫자 20과 12를 바꾸는 정도로는 독립 적용을 확인하기 어렵기 때문에, 구하는 대상과 관측 위치를 함께 바꾸어 판단하게 했다.
눈높이와 수평거리의 조건을 따로 읽기
실생활 측정 문제에는 한 번 계산한 뒤 더하거나 빼야 하는 조건이 자주 붙는다. 관측자의 눈높이가 있는 건물 문제에서는 tan으로 구한 값이 ‘눈에서 꼭대기까지의 높이’인지 ‘지면에서 꼭대기까지의 높이’인지 구분해야 한다. 반대로 꼭대기에서 아래를 내려다보는 각도가 주어진 경우에는 같은 직각삼각형을 만들더라도 각도가 놓인 위치를 다시 확인해야 한다.
학생은 새 문제에서 24m 떨어진 지점, 앙각 60°, 눈높이 1.6m라는 조건을 받았다. 처음에는 24tan60°만 적었지만, 기준각에서 대변을 표시한 뒤
눈에서 꼭대기까지의 높이 = 24tan60° = 24√3
건물 높이 = 24√3 + 1.6
으로 수정했다. 여기서 1.6m를 곱하거나 빼지 않고 더하는 이유도 말로 설명하게 했다. 눈의 위치가 지면보다 1.6m 위에 있으므로, 눈에서 꼭대기까지의 수직 높이에 눈높이를 더해야 전체 높이가 된다는 설명이 나와야 했다.
갈매동 생활권의 측정 상황을 수학 조건으로 바꾸기
갈매협동마을이나 갈매1단지·갈매6단지처럼 보행 동선과 건물 배치가 있는 생활권에서는 실제 거리를 재는 상황을 수학 문제로 바꿔 볼 수 있다. 다만 지도에 보이는 거리나 건물 높이를 임의로 실제 수치라고 단정하지 않고, 수업에서는 별도로 주어진 수치와 각도만 사용한다. 갈매중학교 학생의 학습 점검에서도 학교 선택이나 특정 학교의 시험 경향을 추정하기보다 귀가 뒤 과제량과 시험 준비 순서에 맞춰 한 문항의 조건을 읽는 시간을 확보하는 방식이 현실적이다.
예를 들어 귀가 후 학생이 측정 문제를 풀 때는 먼저 그림을 그린다. 수평선과 수직선을 구분하고, 직각 표시를 넣은 뒤, 기준각을 표시한다. 이어서 ‘주어진 변’, ‘구할 변’, ‘눈높이처럼 마지막에 조정할 조건’을 서로 다른 기호로 적는다. 이 과정을 거치면 문제를 읽자마자 tan을 쓰거나, 눈높이를 빠뜨리는 행동을 줄일 수 있다.
새로운 표현에서도 첫 행동이 유지되는지 확인하기
마지막에는 건물 대신 나무를 제시하고, ‘나무 꼭대기에서 관측자의 눈까지의 높이 차’와 ‘나무와 관측자 사이의 수평거리’를 주었다. 앙각이라는 단어를 쓰지 않고 그림으로만 제시했으며, 구하는 대상도 나무 전체 높이가 아니라 수평거리로 바꾸었다.
학생은 먼저 직각 표시와 기준각을 찾고, 수직 높이 차를 대변으로 표시했다. 이어 tan을 사용해 tan40°=18/x라고 세운 뒤 x=18/tan40°로 정리했다. 이전 문제의 숫자나 답을 기억해서 푼 것이 아니라, 표현이 달라져도 기준각과 두 변의 관계를 다시 찾아낸 것이다.
삼각비 측정 문제의 학습 여부는 공식을 몇 개 외웠는지보다 새로운 조건에서 어떤 선분을 먼저 표시하는지로 판단할 수 있다. 갈매동중3수학과외에서는 한 문제의 정답 확인에서 끝내지 않고, 구하는 대상·각도의 위치·눈높이 조건을 바꾼 문제에서 같은 판단이 이어지는지 확인한다.