천왕동중1수학과외, 히스토그램의 막대 너비를 곱하고 나누기 전에 확인할 것
히스토그램에서 높이가 6인 막대를 본 한 학생이 “구간의 너비가 10이니까 6×10=60명”이라고 답했다. 히스토그램을 막대그래프처럼 읽으면 자주 나오는 오류다. 막대그래프는 항목별 수량을 비교하지만, 히스토그램은 연속된 자료를 일정한 구간으로 나누어 각 구간의 도수를 나타낸다. 따라서 막대의 가로 길이와 세로 높이를 무조건 곱해 자료의 개수를 구하지 않는다.
천왕동의 천왕중학교를 비롯해 구로구 내 중학교 학습을 준비할 때도 학교별 시험 범위와 수행평가 일정에 따라 자료 해석 문제를 다시 확인할 시간이 달라질 수 있다. 특히 평일 귀가가 늦은 주에는 새 단원이나 중2 선행을 늘리기보다, 이미 풀었던 히스토그램 오답에서 곱셈과 나눗셈을 잘못 적용한 문항만 골라 확인하는 편이 현재 학습 상태를 판단하기 쉽다.
막대그래프와 히스토그램을 구분하는 첫 질문
다음과 같은 도수분포표가 있다고 하자.
- 점수 0 이상 10 미만: 3명
- 점수 10 이상 20 미만: 5명
- 점수 20 이상 30 미만: 8명
- 점수 30 이상 40 미만: 4명
히스토그램에서 20 이상 30 미만 구간의 막대 높이가 8이라면, 그 구간의 학생 수는 8명이다. 구간의 너비가 10이라고 해서 8×10을 계산하지 않는다. 가로축의 10은 점수 구간의 범위이고, 세로축의 8은 그 구간에 포함된 도수이기 때문이다.
학생은 문제를 끝까지 읽기 전에 막대의 높이와 가로 길이를 곱하거나, 두 막대의 높이를 나눈다. “어느 구간의 학생 수”를 묻는데도 막대의 넓이를 구하고, “전체 학생 중 비율”을 묻는데도 두 높이만 비교한다. 이때 먼저 문제의 질문을 ‘도수’, ‘전체 도수’, ‘상대도수’ 중 하나로 표시해야 한다.
실제 오답을 식으로 남겨 보기
위 자료의 전체 학생 수는 3+5+8+4=20명이다. 20 이상 30 미만의 도수는 8명이고, 이 구간의 상대도수는 8÷20=0.4이다. 백분율로 나타내면 40%다.
한 학생의 오답은 다음과 같았다.
20 이상 30 미만의 상대도수: 8÷10=0.8
여기서 10은 구간의 너비이지 전체 학생 수가 아니다. 학생은 막대그래프의 항목 간 간격처럼 가로축 숫자를 분모로 사용했다. 수정할 때는 계산부터 지우지 않고 문제 옆에 ‘분모=전체 도수 20명’이라고 적는다. 이어 ‘구간 도수=8’, ‘상대도수=구간 도수÷전체 도수’라는 수량 관계 화살표를 그린다.
반대로 “20 이상 30 미만 구간의 학생 수와 30 이상 40 미만 구간의 학생 수의 비”를 묻는다면 8:4 또는 8÷4=2로 비교할 수 있다. 이때도 막대 너비를 포함하지 않는다. 다만 구간의 너비가 서로 다르게 제시되는 자료라면 세로축이 무엇을 뜻하는지 문제와 축의 단위를 먼저 확인해야 한다. 중학교 기본 히스토그램에서 세로축이 도수라면 높이를 읽고, 별도의 밀도나 넓이 조건이 제시된 경우에는 그 조건에 맞춰 해석해야 한다.
주말 복습을 ‘전체 반복’에서 ‘실패 문항 선별’로 바꾸기
시험 직전에는 선행 진도를 따라가려는 행동 때문에 현재 학교 범위의 오답 재풀이를 생략하기 쉽다. 수행평가가 있는 주에는 지필 복습을 며칠씩 중단했다가 주말에 모든 문제를 다시 풀려고 한다. 그러나 히스토그램에서 같은 오류가 반복되는지 확인하려면 문제를 많이 푸는 것보다 오답의 계산 이유를 분류해야 한다.
- 막대 높이를 도수가 아닌 구간 너비로 읽었는가
- 상대도수의 분모에 구간 너비를 넣었는가
- 전체 도수를 일부 막대의 도수로 계산했는가
- 비교 문제에서 필요 없는 막대 넓이를 구했는가
- 축의 단위와 질문의 단위를 확인하지 않았는가
시간이 부족한 날에는 새 자료를 풀지 않고 표시·검산 훈련으로 전환한다. 오답 옆에 세로축의 단위, 전체 도수, 질문의 단위를 각각 체크한다. 계산 뒤에는 상대도수가 0과 1 사이인지, 백분율의 합이 100%가 되는지 확인한다. 위 자료라면 상대도수는 3÷20=0.15, 5÷20=0.25, 8÷20=0.4, 4÷20=0.2이고 합은 1이다.
다음 날에는 숫자가 아니라 조건을 바꿔 확인한다
같은 표를 바로 다시 풀어 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 다음 날에는 구간을 0 이상 20 미만, 20 이상 40 미만처럼 합쳐 제시하거나, 세로축을 ‘학생 수’ 대신 ‘상대도수’로 바꾼 자료를 사용한다. 또 “20점 이상인 학생의 비율”처럼 여러 막대의 도수를 먼저 더해야 하는 문항도 제시한다. 이 경우 20점 이상인 학생은 8+4=12명, 상대도수는 12÷20=0.6, 즉 60%다.
수행평가 자료를 지필형 문제로 바꿀 때는 표와 히스토그램의 순서를 바꿔 준다. 표에서 도수를 읽어 막대를 예상하게 하고, 완성된 히스토그램에서는 전체 학생 수와 특정 구간의 비율을 거꾸로 구하게 한다. 그림의 모양이 달라져도 ‘가로축은 구간, 세로축은 자료의 개수 또는 제시된 단위’라는 기준을 유지하는지 본다.
선행 시작 여부를 판단하는 기준
중2 내용을 빨리 시작할지 결정할 때는 진도를 몇 쪽 나갔는지가 아니라 현재 중1 자료 해석을 도움 없이 처리하는지를 확인한다. 숫자와 구간을 바꾼 히스토그램에서 도수, 전체 도수, 상대도수를 구하고, 막대그래프와의 차이를 문장으로 설명할 수 있으면 해당 오답 복습을 줄일 수 있다. 반대로 여전히 막대의 높이와 너비를 곱하거나 상대도수의 분모를 구간 너비로 잡는다면 선행보다 이 오류를 먼저 보완해야 한다.
천왕동중1수학과외 학습에서는 주말마다 모든 자료를 반복하기보다 실패 문항에 표시를 남기고, 다음 날 숫자·구간·질문 표현을 바꾼 문제로 독립 적용을 확인하는 방식이 효과적이다. 정답뿐 아니라 어떤 수를 도수로 읽고 어떤 수를 분모로 선택했는지를 말할 수 있어야 히스토그램 해석이 안정된 상태라고 볼 수 있다.