화양동중3수학과외, 곱셈공식을 맞힌 뒤 식의 타당성까지 확인하는 연습
학생은 다음 문제를 보고 곧바로 답을 적었다.
(x+3)² = x²+9
전개 과정 없이 답만 쓴 것은 아니었다. 공식을 떠올렸고, 제곱한 항도 적었다. 그런데 가운데 항인 6x가 빠져 있었다. 더 주의할 점은 학생이 이 식을 틀렸다는 사실을 답을 적은 뒤에도 확인하지 못했다는 것이다. 곱셈공식 학습에서 필요한 것은 공식의 모양을 기억하는 데서 끝나지 않는다. 주어진 식에 그 성질을 적용한 뒤 결과가 원래 식과 같은지 확인해야 한다.
맞힌 전개와 타당한 전개는 다르다
처음에는 정답처럼 보이는 식도 있다. 예를 들어 학생이
(2a-5)² = 4a²-20a+25
라고 썼다면 전개는 정확하다. 하지만 이 답을 공식 암기로만 만든 경우, 식의 각 항이 어디에서 나왔는지 설명하지 못할 수 있다. 반대로 다음과 같이 확인하면 계산과 성질을 함께 점검할 수 있다.
(A-B)²=A²-2AB+B²에 A=2a, B=5를 대입하면
(2a-5)²=(2a)²-2(2a)(5)+5²=4a²-20a+25
가 된다. 가운데 항의 부호는 두 항의 곱과 앞의 음수에서 결정된다. 학생이 20a를 적었다고 해서 항상 충분한 것은 아니다. 왜 -20a인지 말할 수 있어야 부호를 바꾼 식에서도 같은 절차를 사용할 수 있다.
한 줄의 검산으로 빠진 가운데 항 찾기
수업에서는 학생이 전개를 끝낸 뒤 곧바로 다음 세 가지를 표시하도록 했다.
- 첫 항의 제곱이 원래 식에 맞는지 확인한다.
- 두 항의 곱에 2를 곱한 가운데 항을 찾는다.
- 마지막 항의 제곱과 부호를 확인한다.
따라서 (x+3)²를 계산할 때는 x², 2·x·3, 3²를 각각 적어 x²+6x+9로 만든다. 처음의 오답 x²+9는 첫 항과 마지막 항만 남긴 결과이므로 가운데 항 점검에서 바로 수정된다.
이 방법은 식을 무조건 세 번 다시 쓰게 하는 절차가 아니다. 학생이 틀린 위치를 스스로 찾게 하는 짧은 검산이다. 특히 (x-4)²에서 x²-16이라고 적었을 때는 가운데 항이 -8x이고 마지막 항은 +16임을 따로 확인해야 한다. 괄호 안의 음수가 마지막 항의 제곱까지 음수로 바꾸지는 않는다.
곱셈공식과 실제 전개의 연결
공식이 낯설거나 결과를 의심할 때는 괄호를 직접 곱해 보는 방식도 사용했다.
(y-2)(y-2)=y²-2y-2y+4=y²-4y+4
이 과정을 통해 가운데 항이 두 번의 곱에서 생긴다는 점을 확인할 수 있다. 이후에는 (3x+1)²을 9x²+6x+1로 전개한 뒤, 3x·1과 1·3x가 각각 3x씩 생긴다는 설명을 붙이게 했다. 단순히 결과를 외우는 대신, 공식의 각 부분을 원래 곱셈으로 되돌릴 수 있는지 확인한 것이다.
반대로 모든 식을 같은 공식으로 처리하면 오류가 생긴다. (x+2)(x+5)는 두 괄호의 뒤 항이 같지 않으므로 (A+B)²을 그대로 적용할 수 없다. 학생은 처음에 x²+25라고 적었지만, 두 괄호를 항별로 곱해 x²+5x+2x+10=x²+7x+10으로 고쳤다. 이때 먼저 괄호의 형태가 제곱인지, 두 괄호가 같은지 표시하는 행동을 추가했다.
화양동에서 정한 확인 방식
화양동의 지역 내 중학교로 제공된 학교는 구의중학교이며, 건국대학교사범대학부속중학교·광남중학교·광양중학교·광장중학교는 같은 광진구의 참고 학교로 구분된다. 참고 학교를 화양동 소재 학교로 단정하지 않고, 학생이 실제로 다니는 학교의 프린트와 주간 시험 일정을 기준으로 풀이 점검량을 조절했다. 학교별 내신 운영을 지역 전체의 성향으로 묶기보다, 수행평가와 수업 과제가 겹치는 주에는 새로운 공식 한 개를 여러 식에 적용하기보다 오답 식의 가운데 항과 부호를 설명하는 데 집중했다.
학생이 맞힌 문제라도 답안 옆에 다음 문장을 짧게 적게 했다.
“어떤 곱셈공식을 사용했고, 가운데 항은 어디에서 나왔는가?”
예를 들어 (4m-3)²을 16m²-24m+9로 계산한 뒤에는 A=4m, B=3을 대입했다는 근거를 남긴다. 이 기록은 정답을 다시 베끼는 것이 아니라 공식 선택이 타당했는지를 확인하는 자료가 된다.
숫자와 식의 형태를 바꾼 독립 검증
같은 문제를 다시 풀게 하는 대신 조건을 바꾸어 제시했다.
(2p+7)²을 전개하고, 그 결과를 다시 인수로 묶어 원래 식으로 돌아갈 수 있는지 확인하는 문제였다. 학생은 먼저 4p²+28p+49를 만들고, 이를 (2p+7)(2p+7)로 되돌렸다. 이어 (5t-1)²에서는 마지막 항을 -1로 쓰지 않고 +1로 고쳤으며, 가운데 항을 -10t로 판단했다.
마지막으로 (x+3)(x-3)을 제곱공식이 아닌 합과 차의 곱으로 구분해 x²-9를 얻었다. 식의 숫자와 괄호 모양이 바뀌었지만 학생이 먼저 “같은 두 식의 제곱인지, 서로 다른 두 식의 곱인지”를 확인했다면 공식 선택이 달라진다는 점을 독립적으로 적용한 것이다.
곱셈공식에서 확인할 기준은 답을 빠르게 적었는지가 아니다. 식의 형태를 보고 알맞은 성질을 고른 뒤, 각 항과 부호가 원래 곱셈에서 나온 결과인지 설명할 수 있는지에 있다.