화양동중1수학과외, 컴퍼스를 대기 전 작도 순서를 말로 설명하는 연습
“선분의 수직이등분선을 작도하시오.”라는 문제를 보면 곧바로 컴퍼스를 펼치는 중1 학생이 있다. 선분, 수직, 이등분이라는 도형 이름은 알고 있지만 무엇을 먼저 해야 하는지 말하지 못한 채 양 끝점을 번갈아 찍는다. 작도에서는 도구를 능숙하게 사용하는 것보다 조건 사이의 관계를 순서로 바꾸는 일이 먼저다.
화양동에서 중1 수학을 공부할 때도 학교별 수업 진도와 시험 전 주간 일정은 다를 수 있다. 지역 내 중학교로 확인되는 구의중학교와 같은 광진구의 건국대학교사범대학부속중학교, 광남중학교, 광양중학교, 광장중학교는 참고 범위를 구분해 볼 필요가 있다. 특정 학교의 시험 경향을 단정하기보다 현재 학교 프린트와 학생이 실제로 그리는 과정을 기준으로 작도 훈련을 조정해야 한다.
도형 이름을 아는 것과 관계를 설명하는 것은 다르다
예를 들어 선분 AB의 수직이등분선을 작도한다면 목표는 단순히 선을 하나 그리는 것이 아니다. 그 직선은 AB와 수직으로 만나고, AB를 이등분해야 한다. 따라서 학생은 컴퍼스를 사용하기 전에 다음 과정을 말할 수 있어야 한다.
- 선분 AB의 양 끝점 A와 B를 확인한다.
- 컴퍼스의 폭을 AB의 절반보다 크게 잡는다.
- A를 중심으로 위와 아래에 호를 그린다.
- 컴퍼스의 폭을 바꾸지 않고 B를 중심으로 같은 위치에 호를 그린다.
- 두 호의 교점을 연결해 수직이등분선을 만든다.
이때 “A에서 호를 그리고 B에서도 호를 그린다”라고만 말하면 부족하다. 두 호의 교점이 생겨야 직선을 그을 수 있고, 같은 컴퍼스 폭을 유지해야 두 점이 AB에서 같은 거리에 놓인다. 학생이 관계를 말하지 못한다면 작도 도구를 다시 잡게 하기보다 오류가 난 한 위치, 예를 들어 ‘B에서 컴퍼스 폭을 바꾼 부분’만 표시한다.
익숙한 문제를 반복하는 동안 놓치는 장면
시험 직전에는 이미 풀어 본 작도 문제를 여러 번 그리면서 새로운 조건이 붙은 문제를 뒤로 미루는 행동이 나타날 수 있다. 시간 제한을 두면 더 빠르게 선을 긋는 데 집중하고, 완성 후에는 그림의 모양만 확인한다. 하지만 작도 문제의 검산은 “그럴듯하게 그려졌는가”가 아니라 조건이 실제로 성립하는가를 확인하는 과정이다.
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 삼각형 ABC에서 변 AB의 수직이등분선을 작도한 뒤 선분의 중점을 표시하지 않고 정답이라고 할 수 있다. 이때 긴 설명을 다시 듣게 하기보다 답안 옆에 작은 점검칸을 둔다.
- 두 호의 교점이 위와 아래에 각각 생겼는가?
- 두 교점과 A, B 사이의 거리가 각각 같은가?
- 교점을 연결한 직선이 AB를 직각으로 만나는가?
- AB가 그 직선에 의해 두 부분으로 나뉘는가?
학생은 그림을 눈으로만 보지 않고, 컴퍼스의 중심을 A와 B에 차례로 놓아 같은 반지름으로 그렸는지 확인한다. 직각 표시를 억지로 붙이는 것이 아니라 작도의 결과가 수직 관계를 만들어 내는지 점검하는 방식이다.
작도 전 30초 말하기 훈련
훈련의 시작은 컴퍼스가 아니라 빈 종이에서 이뤄진다. 문제의 조건을 읽은 뒤 학생이 “무엇을 중심으로, 어떤 폭으로, 어느 점을 연결할 것인지”를 30초 안에 말한다. 말이 막히면 작도 전체를 다시 설명하지 않고 중심점, 반지름, 교점 중 빠진 한 요소만 질문한다.
예를 들어 선분 AB의 한 끝점에서 주어진 각과 같은 각을 옮기는 문제라면, 먼저 주어진 각의 꼭짓점과 두 변을 확인한다. 그다음 꼭짓점을 중심으로 호를 그리고, 새 꼭짓점에서도 같은 반지름의 호를 그린다. 원래 호와 두 변의 교점 사이 간격을 새 호에 옮긴 뒤, 새 꼭짓점에서 해당 교점을 연결한다고 말해야 한다. 학생이 “각을 옮긴다”에서 멈춘다면 호와 교점의 역할을 추가로 말하게 한다.
중간에 계산이 필요한 경우에도 현재 작도를 멈추고 초등 계산 전체를 다시 공부하지 않는다. 작도 순서를 읽는 데 필요한 길이 비교나 단순 계산처럼 실제로 막힌 부분만 두 문제 확인한 뒤 원래 중1 작도 문제로 돌아온다. 오답노트에는 완성된 그림을 길게 붙이기보다 ‘B에서 컴퍼스 폭을 변경함’, ‘교점 연결 전 조건 확인 생략’처럼 오류 위치 한 곳만 적는다.
다음 문제에서 순서를 바꿔도 적용되는가
같은 선분 AB 문제를 바로 다시 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 다음 검증에서는 선분 CD의 수직이등분선을 주고, 종이에 선분을 회전해 배치하거나 교점 하나를 표시하지 않은 상태로 제시한다. 학생은 새로운 문자와 방향에서도 먼저 작도 순서를 말한 뒤 컴퍼스를 사용해야 한다.
처음에는 5분 동안 조건 읽기와 작도를 수행하게 하고, 이후에는 시간을 줄여 계산 세트처럼 진행하되 속도 때문에 컴퍼스 폭을 바꾸지 않는지 확인한다. 다음 날에는 선분 EF의 수직이등분선을 도움 없이 시작하게 하고, 일주일 뒤에는 “이 직선 위의 점 P가 PA=PB를 만족하는 이유를 설명하라”는 문항으로 확장한다. 작도 결과뿐 아니라 같은 거리를 만드는 호의 관계까지 말하면 훈련 목록에서 해당 유형을 제외할 수 있다.
화양동중1수학과외에서 작도를 다룰 때의 기준은 그림을 예쁘게 완성하는 데 있지 않다. 학생이 조건을 관계로 해석하고, 순서를 말로 예측하며, 컴퍼스를 사용한 뒤 새로운 문자와 배치에서도 결과를 검증하는지에 있다.