중곡동중3수학과외, 곱셈공식 선택을 조건으로 판단하는 연습
중곡동중3수학과외에서 곱셈공식을 고르는 기준 세우기
학생은 다음 식을 보자마자 공책 맨 위에 “완전제곱식”이라고 적었다.
(x+3)²=x²+9
괄호를 제곱한다는 말은 기억하고 있었지만, 가운데 항을 확인하지 않고 양 끝 항만 계산한 것이다. 이 오답은 공식 자체를 전혀 모르는 경우와 다르다. 어떤 형태의 식에 어떤 공식을 적용할지 판별하는 과정이 빠져 있었다. 곱셈공식 문제에서는 공식을 많이 외운 학생도 항의 개수, 부호, 같은 문자의 여부를 놓치면 바로 다른 식을 만든다.
가운데 항을 확인하지 않으면 완전제곱식이 되지 않는다
(x+3)²은 (x+3)(x+3)으로 바꾸어 두 괄호를 곱해야 한다. 첫째 항과 마지막 항만 계산하는 것이 아니라, x와 3이 서로 한 번씩 곱해지는 두 경우를 함께 적는다.
(x+3)²=x²+3x+3x+9=x²+6x+9
따라서 완전제곱식의 기본 모양은 a²+2ab+b² 또는 a²-2ab+b²이다. 학생에게 “제곱했으니 양 끝 항만 제곱한다”라고 설명하게 하지 않고, “가운데 항은 두 수의 곱을 두 번 더한 것”이라고 말하게 했다. 설명을 바꾸면 식을 볼 때 확인할 대상도 달라진다.
반대로 x²+6x+9를 보았을 때에는 양 끝 항의 제곱근이 x와 3이고, 가운데 항 6x가 2·x·3인지 검사한다. 두 조건이 모두 맞으므로 (x+3)²으로 묶을 수 있다. x²+5x+9는 양 끝 항은 비슷하지만 2·x·3=6x가 아니므로 같은 공식으로 묶을 수 없다.
식의 모양이 비슷할 때 먼저 항의 수와 부호를 판별한다
학생이 자주 혼동한 두 식은 다음과 같았다.
(x+4)(x-4), (x+4)²
첫 번째 식은 두 괄호의 가운데 항이 서로 없어지는 구조다.
(x+4)(x-4)=x²-16
두 번째 식은 같은 괄호를 곱하므로 가운데 항이 생긴다.
(x+4)²=x²+8x+16
두 식에 모두 x와 4가 들어 있지만 부호와 괄호의 형태가 다르다. 학생은 이제 공식을 외운 순서대로 찾지 않고, 풀이 첫 줄에 “같은 괄호의 제곱인가, 합차의 곱인가”를 짧게 적는다. 같은 괄호의 제곱이면 가운데 항을 만들고, (a+b)(a-b) 형태이면 가운데 항이 소거된다는 점을 선택 기준으로 삼는다.
문자가 두 개일 때도 같은 방식으로 판단한다.
(2x+3y)²=4x²+12xy+9y²
여기서 가운데 항은 2·2x·3y=12xy이다. 학생이 6xy라고 썼다면 2를 한 번 빠뜨린 것이다. 수정할 때는 공식 전체를 다시 외우게 하지 않고, 2ab의 a에 2x, b에 3y를 괄호째 대입하게 했다.
부호는 마지막 항이 아니라 가운데 항까지 함께 읽는다
(3a-2b)²에서 학생은 9a²+4b²라고 답했다. 정확한 전개는 다음과 같다.
(3a-2b)²=(3a)²-2(3a)(2b)+(2b)²=9a²-12ab+4b²
마지막 항은 제곱이므로 양수가 되지만, 가운데 항은 마이너스가 유지된다. 따라서 제곱 안의 두 항을 각각 괄호로 표시한 뒤, 가운데 항에만 원래 부호를 적용하도록 풀이 습관을 바꾸었다. “마이너스가 있으니 모두 음수”도 아니고 “제곱이니 모두 양수”도 아니다. 항마다 어떤 연산에서 나온 것인지 구분해야 한다.
특히 (a-b)(a+b)와 (a-b)²를 나란히 놓고 비교했다.
(a-b)(a+b)=a²-b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
첫 번째는 서로 다른 두 괄호의 곱이라 가운데 항이 사라지고, 두 번째는 같은 괄호를 두 번 곱하므로 가운데 항이 남는다. 학생은 두 식의 차이를 “부호가 다르다”가 아니라 “괄호 두 개가 서로 반대 형태인지, 완전히 같은 형태인지”로 설명했다.
중곡동의 이동 시간을 풀이 점검 시간으로 바꾸기
중곡동에서 대원국제중학교와 용곡중학교를 오가는 통학, 또는 방과 후 귀가 동선에 따라 매일 확보되는 시간이 달라질 수 있다. 같은 광진구의 건국대학교사범대학부속중학교, 광남중학교, 광양중학교는 참고할 수 있는 학교이지만 중곡동 소재 학교와는 구분해서 보아야 한다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 수업 뒤 이동하고 집에 도착한 다음 15분 동안 그날 틀린 공식 선택 한 문제를 다시 판단하는 방식이 현실적이다.
이때 답만 고쳐 쓰지 않고 세 칸을 만든다. 첫 칸에는 원래 식의 형태, 둘째 칸에는 선택한 공식의 조건, 셋째 칸에는 전개 후 확인할 가운데 항을 적는다. 예를 들어 x²-10x+25를 보면 양 끝 항의 제곱근이 x와 5이고, 가운데 항이 -2·x·5인지 확인한 뒤 (x-5)²으로 묶는다.
공식이 아니라 조건이 바뀐 문제에서 확인하기
다음 학습에서는 숫자와 문자의 위치를 바꾸어 제시했다.
(4p-3q)²
학생은 먼저 같은 괄호의 제곱임을 말하고, 2ab에 4p와 -3q를 넣었다.
(4p-3q)²=16p²-24pq+9q²
그 뒤 가운데 항을 다시 계산해 -2·4p·3q=-24pq인지 확인했다. 이어서 (4p-3q)(4p+3q)를 제시하자 이번에는 합차의 곱으로 판단하여 16p²-9q²를 얻었다. 바로 앞 문제의 정답을 기억해 적은 것이 아니라 괄호의 관계가 바뀐 것을 먼저 읽은 것이다.
마지막으로 9m²+12mn+4n²을 완전제곱식으로 바꾸게 했다. 양 끝 항에서 3m과 2n을 찾고, 2·3m·2n=12mn임을 확인한 뒤 (3m+2n)²이라고 답했다. 식의 방향이 전개에서 역변환으로 바뀌었는데도 첫 행동인 ‘양 끝 항과 가운데 항의 관계 확인’을 스스로 꺼냈다면 곱셈공식 선택이 암기에서 조건 판별로 바뀌었다고 볼 수 있다.