구의동중3수학과외, 단항식과 다항식의 곱을 새 표현에서도 적용하는 연습
학생이 다음 식을 보고 답을 맞혔다고 하자.
3x(2x-5)=6x²-15x
계산 결과만 보면 정확하다. 그러나 풀이 과정을 살펴보면 3x를 2x에만 곱한 뒤, 마지막에 -5를 처리하는 과정에서 부호를 바꾸어 적거나, 계수 3을 빠뜨리는 경우가 나타날 수 있다. 단항식과 다항식의 곱은 한 번의 계산으로 끝나는 단원이 아니라, 괄호 안의 모든 항에 단항식을 분배한다는 원리를 숫자와 부호가 달라져도 유지하는지 확인해야 하는 내용이다.
괄호 안의 두 항을 모두 찾아 곱하기
처음에는 식을 한 덩어리로 읽지 않고 곱셈 대상을 표시하게 한다. 예를 들어
-2a(3a+4)
에서는 -2a가 3a와 4에 각각 곱해져야 한다.
(-2a)×(3a)=-6a²
(-2a)×4=-8a
따라서 결과는 -6a²-8a이다. 학생이 흔히 쓰는 오답은 -6a²+8a처럼 두 번째 항의 부호를 놓치는 경우다. 이때 단순히 답을 다시 외우게 하지 않고, 두 번째 곱셈을 괄호째 옮겨 적도록 한다.
(-2a)(3a+4)=(-2a)(3a)+(-2a)(4)
부호를 포함한 단항식을 매 항 앞에 다시 적으면, +4와 -2a를 곱할 때 음수가 된다는 사실이 식에 남는다. 계수는 -2×4=-8, 문자는 a이므로 -8a가 된다.
문자를 곱할 때 지수를 한 번 더 확인하는 이유
부호를 제대로 처리한 학생도 문자의 곱에서 멈출 수 있다. 4x×(-3x²)를 -12x²로 적는 식이다. 계수의 곱은 4×(-3)=-12이지만, x×x²=x³이므로 정확한 결과는 -12x³이다. 단항식끼리 곱할 때는 계수끼리 곱하고 같은 문자의 지수는 더한다는 절차를 분리해 말하게 한다.
이 원리를 다항식에 적용하면 다음과 같이 정리할 수 있다.
5y(2y²-y+3)
=5y×2y²+5y×(-y)+5y×3
=10y³-5y²+15y
학생이 가운데 항을 -5y로 적었다면, 계수뿐 아니라 y×y의 결과를 확인해야 한다. 각 항을 곱한 뒤에는 항의 차수와 부호를 따로 점검한다. 첫 항은 y³, 두 번째 항은 y², 세 번째 항은 y이므로 서로 동류항이 아니며 합칠 수도 없다.
전개 전의 식과 전개 후의 식을 연결하기
식의 모양이 바뀌면 같은 원리를 알아보지 못하는 학생도 있다. 예를 들어 직사각형을 가로가 2x+3, 세로가 x로 나눈 그림에서 넓이를 구할 때는 x(2x+3)을 계산해야 한다. 넓이를 두 부분으로 나누면 가로 2x인 부분의 넓이는 2x², 가로 3인 부분의 넓이는 3x가 되어 전체가 2x²+3x이다.
이 그림을 보고 바로 공식을 쓰는 대신, 학생이 먼저 “전체 넓이는 작은 직사각형 두 개의 넓이 합”이라고 설명하게 한다. 그러면 x(2x+3)=2x²+3x라는 식이 단순한 기호 조작이 아니라 분배법칙과 연결된다. 반대로 2x²+3x를 보고 x(2x+3)으로 묶을 때도 공통인 x를 찾아야 한다. 다만 이 과정은 단항식과 다항식의 곱을 역으로 확인하는 것이므로, 전개한 결과를 다시 묶어 보는 데 활용할 수 있다.
구의동의 생활 리듬에 맞춘 짧은 풀이 점검
구의동에서는 동국대학교사범대학부속가람중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 건국대학교사범대학부속중학교·광남중학교·광양중학교·광장중학교는 같은 광진구의 참고 학교로 구분된다. 구의7단지현대아파트와 구의현대2단지아파트처럼 주거지가 확인되는 생활권에서도 통학 거리와 귀가 시간이 학생마다 다를 수 있다. 따라서 긴 문제집 진도보다, 하루에 한두 식을 골라 분배 과정을 말하고 검산하는 시간을 실제 생활 리듬에 맞추는 편이 적절하다.
예를 들어 외출이나 통학 뒤 시간이 짧은 날에는 단항식×첫째 항, 단항식×둘째 항처럼 곱셈을 나누어 적는 것만 점검할 수 있다. 시간이 확보된 날에는 부호가 다른 식과 넓이 그림을 함께 제시해 같은 원리를 다른 표현에서 꺼내게 한다. 중요한 것은 풀이량이 아니라 학생이 괄호 안의 항을 빠뜨리지 않고, 각 곱셈의 부호·계수·문자 지수를 확인하는가이다.
숫자와 표현을 바꾼 뒤에도 같은 절차를 쓰는가
연습한 식을 그대로 다시 풀게 하면 답을 기억했는지 구분하기 어렵다. 다음처럼 조건을 바꾼 문제를 제시한다.
-3m(2m²-5m+1)
학생은 먼저 세 항을 각각 곱하는 구조를 적어야 한다.
(-3m)(2m²)+(-3m)(-5m)+(-3m)(1)
각 결과는 -6m³, +15m², -3m이므로 전체는 -6m³+15m²-3m이다. 여기서 두 번째 항은 음수와 음수의 곱이라 양수가 된다. 이전 문제와 숫자와 부호가 달라졌지만, 단항식을 모든 항에 분배하고 계수·문자·부호를 차례로 확인하는 행동은 동일하다.
마지막에는 정답만 채점하지 않고 원래 식에 다시 대입해 전개 결과가 맞는지 확인한다. 예를 들어 m=1이면 원래 식은 -3(2-5+1)=6이고, 전개식은 -6+15-3=6이다. m=-1을 넣어도 원래 식과 전개식의 값이 같아야 한다. 학생이 숫자를 바꾼 새 문제에서 이 검산까지 도움 없이 수행한다면, 단항식과 다항식의 곱을 답의 형태가 아니라 분배 원리로 적용하고 있다고 판단할 수 있다.