광명중1수학과외, 다면체 전개도의 이웃 면을 식과 그림으로 확인하는 연습
전개도를 접었을 때 어떤 면이 서로 붙는지 묻는 문제에서 한 중1 학생이 모든 숫자를 빠짐없이 계산하려고 했다. 가로 6cm, 세로 4cm, 높이 3cm라는 정보와 함께 “색칠한 면의 넓이를 구하라”는 조건이 있었지만, 학생은 전개도에서 색칠된 면을 찾지 않고 6×4, 4×3, 6×3을 모두 더했다. 답이 틀린 뒤에는 풀이 전체를 ‘계산 실수’라고 표시했다.
이 장면의 핵심은 곱셈 능력이 아니라 다면체의 전개도를 입체의 면 관계로 바꾸는 과정이다. 전개도에서는 면이 평면에 펼쳐져 있으므로 그림의 위치만 보고 접힌 뒤의 이웃 관계를 바로 판단하기 어렵다. 특히 교과서 예제를 다시 볼 때 면 번호를 붙이지 않으면 중심 면과 옆면의 연결을 기억에 의존하게 된다.
숫자보다 먼저 해야 할 일
예를 들어 직육면체 전개도에 가로 6cm, 세로 4cm, 높이 3cm가 표시되어 있고, 한 면에 색이 칠해져 있다고 하자. 문제에서 요구하는 것이 색칠한 면의 넓이라면 모든 길이를 사용할 필요가 없다. 색칠한 면의 두 변이 6cm와 4cm라면 필요한 관계는 다음처럼 정리된다.
색칠한 면 → 가로 6cm, 세로 4cm → 넓이 = 6×4 = 24㎠
높이 3cm는 직육면체의 다른 면을 확인하거나 전체 겉넓이를 구할 때 필요할 수 있지만, 색칠한 한 면의 넓이만 구할 때는 식에 넣지 않는다. 학생이 문제 속 숫자를 모두 식에 넣는 행동을 보인다면 “숫자를 다 사용했는가”가 아니라 “구하려는 면과 직접 연결되는가”를 먼저 묻게 해야 한다.
전개도에 면 번호를 붙이는 방법
학교 프린트의 전개도 문제를 풀 때 중심 면을 1번으로 표시한다. 중심 면과 변을 공유하는 면에는 2, 3, 4, 5를 붙이고, 남은 면에는 6을 적는다. 이때 번호는 그림의 위에서부터 임의로 붙이는 것이 아니라 실제로 변을 맞대고 있는 면을 기준으로 한다.
- 서로 변을 공유하는 두 면을 선으로 연결한다.
- 중심 면에서 한 칸씩 이동하며 이웃 면의 번호를 기록한다.
- 한 꼭짓점에서만 만나는 면은 이웃 면으로 세지 않는다.
- 같은 면이 두 번 나타난 것처럼 번호를 중복해서 쓰지 않는다.
그 다음 문제의 조건을 그림에 표시한다. 색칠한 면은 색연필이나 동그라미로 표시하고, 구하려는 면의 변에는 해당 길이를 적는다. 전개도를 접었을 때 마주 보는 면인지, 변을 공유하는 면인지가 필요한 경우에는 면 번호 사이에 ‘이웃’, ‘맞은편’이라고 짧게 메모한다.
한 문항의 오답을 다시 쓰는 과정
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학교 프린트에는 직육면체 전개도와 함께 “색칠한 면과 평행한 면의 넓이의 합”을 구하는 문항이 있었다. 학생은 6×4+4×3+6×3을 계산한 뒤 60이라고 답했다. 하지만 색칠한 면이 6cm×4cm인 경우 평행한 면도 같은 크기이므로 필요한 식은 6×4×2=48이다.
수정할 때는 정답만 고치지 않고 중간식을 다음 순서로 다시 작성한다.
① 색칠한 면: 6×4=24㎠
② 색칠한 면과 평행한 면: 24㎠
③ 두 면의 넓이의 합: 24+24=48㎠
이렇게 쓰면 3cm를 왜 사용하지 않았는지 확인할 수 있고, 어느 단계에서 다른 면의 넓이를 섞었는지도 드러난다. 학생이 오답 원인을 ‘계산 실수’ 하나로 묶지 않고 ‘면을 고르지 않음’, ‘이웃 관계를 확인하지 않음’, ‘불필요한 길이를 식에 넣음’으로 나누어 기록하는 것이 중요하다.
같은 전개도를 외우지 않고 검증하기
한 번 맞힌 뒤 곧바로 훈련을 끝내지 않는다. 먼저 숫자를 6cm, 4cm, 3cm에서 8cm, 5cm, 2cm로 바꾸고, 색칠한 면을 다른 위치로 옮긴다. 학생은 새 전개도에서 다시 중심 면과 이웃 면에 번호를 붙인 뒤, 구하는 면과 직접 관련된 길이만 골라 식을 만든다.
다음에는 “색칠한 면과 평행한 면” 대신 “색칠한 면과 변을 공유하는 네 면의 넓이의 합”처럼 조건을 바꾼다. 직육면체의 전개도라면 6×3인 면 두 개와 4×3인 면 두 개가 해당하므로 식은 6×3×2+4×3×2가 되고, 결과는 36+24=60㎠이다. 이전의 48㎠를 그대로 쓰지 않고 조건에 따라 면을 다시 선택했는지 확인할 수 있다.
마지막으로 다음 날 전개도의 방향을 회전시키고, 불필요한 길이 하나를 추가한 문제를 다시 제시한다. 제한 시간 안에 학생이 면 번호, 조건 표시, 중간식, 단위까지 스스로 작성하면 독립 적용으로 본다. 일주일 뒤에는 숫자를 바꾸고 “전체 겉넓이”와 “두 면의 넓이”를 섞은 문항을 제시해, 문제에서 요구하는 면의 범위를 먼저 고르는지 재확인한다.
광명 지역에서 가림중학교, 광남중학교, 광명북중학교, 광명중학교, 광문중학교, 빛가온중학교 등의 학교 자료를 참고하더라도 학교별 출제 경향을 단정하기보다는 학교 프린트와 시험범위의 다면체 문항을 기준으로 점검하는 편이 적절하다. 귀가 후 과제량과 시험 준비 순서를 정할 때도 전개도 오답 한 문항에서 면 번호와 조건 표시를 다시 쓰는 데서 시작할 수 있다.