철산동중3수학과외, 기준각이 바뀌면 삼각비도 다시 정해야 하는 이유
“sin 30°니까 대변 나누기 빗변이죠?”
철산동의 한 중3 학생은 직각삼각형 문제에서 기준각이 30°로 표시된 것을 보고 곧바로 sin 30°를 적었다. 그런데 실제로 구해야 하는 것은 기준각에 대한 인접변의 길이였고, 학생은 대변과 인접변을 구분하지 않은 채 sin 30°=3/5라고 썼다. 삼각비의 값 자체를 외운 것은 맞았지만, 어느 변을 비교해야 하는지 결정하는 첫 단계가 빠진 풀이였다.
이런 경우 계산식을 더 많이 외우게 하는 것보다, 문제의 기준각과 구하는 대상을 먼저 판별하도록 풀이 순서를 바꾸는 것이 효과적이다. 중3수학에서 삼각비는 숫자를 대입하는 단원이 아니라, 같은 직각삼각형이라도 기준각이 달라지면 대변과 인접변의 이름이 함께 달라진다는 점을 적용하는 내용이다.
변의 이름은 삼각형에 고정되어 있지 않다
학생에게 다음과 같은 직각삼각형을 제시했다. 빗변의 길이는 10, 한 예각을 A라고 하고 A의 맞은편 변의 길이는 6이다. 이때 A를 기준으로 하면
sin A = 대변/빗변 = 6/10 = 3/5
가 된다. 학생은 여기까지는 정확히 계산했다. 하지만 같은 그림에서 다른 예각을 B로 바꾸자, A에서 대변이었던 6을 B에서도 대변이라고 불렀다. 기준각을 바꾸었는데도 변의 이름을 그대로 유지한 것이다. B의 기준에서는 6이 인접변이므로
cos B = 인접변/빗변 = 6/10 = 3/5
로 읽어야 한다. 숫자 3/5가 같아 보인다고 해서 두 각에서 같은 삼각비를 사용한 것은 아니다. 기준각에 따라 달라지는 변의 위치를 먼저 확인해야 한다.
학생의 첫 행동을 ‘공식 선택’에서 ‘기준각 표시’로 바꾸기
기존 풀이에서 학생은 문제를 읽자마자 sin, cos, tan 중 하나를 골랐다. 수정할 때는 계산을 시작하기 전에 종이에 세 가지 표시를 남기게 했다.
- 기준각에 동그라미 치기
- 직각 맞은편 변에 빗변 표시하기
- 기준각에서 보아 맞은편인지 옆에 붙어 있는지 구분하기
예를 들어 기준각이 θ이고, θ의 맞은편 변이 8, θ에 붙은 변이 15, 빗변이 17이라면 학생은 구하려는 관계에 따라 식을 선택한다.
sin θ = 8/17, cos θ = 15/17, tan θ = 8/15
이 세 식을 한꺼번에 암기하는 대신, “어떤 두 변을 비교해야 하는가?”를 먼저 말하게 했다. 학생이 “tan을 쓴다”라고만 답하면 다시 “tan은 어느 변과 어느 변의 비인가?”를 묻고, “대변과 인접변의 비”라고 설명한 뒤에야 식을 적게 했다.
같은 그림에서 기준각만 바꿔 읽는 연습
다음 단계에서는 숫자와 도형을 바꾸기보다 기준각만 바꾼 두 문제를 비교했다. 직각삼각형의 변 길이가 5, 12, 13일 때, 먼저 5의 맞은편 각을 α로 지정했다. 그러면
sin α = 5/13, cos α = 12/13, tan α = 5/12
이다. 이어서 12의 맞은편 각을 β로 지정하면 5와 12의 역할이 바뀐다.
sin β = 12/13, cos β = 5/13, tan β = 12/5
학생은 처음에 두 번째 문제에서도 tan β를 5/12로 적었다. 수정 행동은 단순히 답을 고치는 것이 아니었다. β를 기준으로 맞은편 변에 화살표를 다시 그리고, 인접변을 새로 표시한 다음 식을 작성하게 했다. 기준각이 바뀌면 대변과 인접변을 다시 정해야 한다는 규칙을 그림 위에서 실행한 것이다.
철산동에서는 광명북중학교, 광명중학교, 철산중학교가 지역 내 중학교로 확인된다. 같은 광명시의 가림중학교와 광남중학교는 참고 학교로 구분해야 하며 철산동 소재 학교로 단정할 수 없다. 철산13단지와 철산주공8단지 등 생활권에서 귀가한 뒤 학교 과제와 시험 준비를 함께 해야 하는 학생이라면, 짧은 시간에도 문제를 많이 푸는 것보다 기준각 표시와 변 이름 확인을 한 문제마다 남기는 방식이 효율적이다.
‘맞힌 답’에도 근거를 붙이는 이유
학생이 다음 문제에서 기준각이 40°이고 대변과 빗변이 각각 7, 12라고 보고 sin 40°=7/12를 적었다. 답은 맞았지만 풀이에는 왜 sin을 선택했는지가 없었다. 그래서 답안에 “기준각에 대한 대변과 빗변이 주어졌으므로 sin을 사용한다”라는 한 문장을 덧붙이게 했다.
반대로 기준각이 같은데 인접변과 빗변이 주어진 문제에서는 cos을 선택해야 한다. 기준각 θ에 대해 인접변이 9, 빗변이 15라면
cos θ = 9/15 = 3/5
이다. 학생이 sin θ=9/15라고 적었다면 숫자 계산이 아니라 변의 위치를 잘못 읽은 것이다. 이때는 공식표를 다시 보게 하는 대신, θ에서 9가 맞은편인지 옆에 붙었는지 말하게 하고 그림에 표시를 추가한다.
새 조건에서 혼자 확인한 기준
독립 검증에서는 이전의 5-12-13 삼각형을 사용하지 않고, 변의 배치를 회전한 그림을 제시했다. 기준각 φ의 맞은편 변은 9, 인접변은 40, 빗변은 41로 바꾸었다. 학생은 먼저 직각 표시를 찾고 41에 빗변 표시를 한 뒤, φ에서 9가 대변임을 확인했다.
따라서 학생은 도움 없이
tan φ = 9/40, sin φ = 9/41, cos φ = 40/41
을 차례로 작성했다. 이후 기준각을 반대쪽 예각으로 바꾸자 대변과 인접변을 다시 교환하여 tan의 값도 40/9로 수정했다. 숫자를 외워 답한 것이 아니라, 새로운 그림과 기준각에서 첫 행동을 다시 꺼내 쓴 것이다.
철산동중3수학과외에서 삼각비 풀이를 점검할 때는 정답 개수만 보지 않는다. 학생이 기준각을 표시했는지, 빗변을 직각 표시로 확인했는지, 대변과 인접변을 그 각도에서 다시 정했는지, 선택한 비의 이유를 말할 수 있는지를 함께 확인해야 한다. 기준각이 달라진 문제에서 이 순서를 혼자 재현한다면 공식 암기를 넘어 조건 판별이 이루어진 것으로 볼 수 있다.