철산동중1수학과외, 겉넓이 서술형에서 막힌 초등 개념만 역추적하기
“직육면체의 겉넓이는 94㎠이다.”라는 조건을 읽고도 학생이 식을 쓰지 못하는 경우가 있다. 계산을 전혀 못해서가 아니라, 여러 면의 넓이를 더해야 한다는 구조와 단위, 문제에서 요구한 값을 한꺼번에 처리하려 하기 때문이다. 특히 학교 프린트에서는 교과서와 숫자나 문장 표현을 바꾸어 제시하므로, 전에 풀었던 문제와 모양이 다르면 이미 배운 겉넓이 문제도 낯선 유형처럼 느낄 수 있다.
철산동에는 광명북중학교, 광명중학교, 철산중학교가 있고, 같은 광명시의 참고 학교로 가림중학교와 광남중학교가 있다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 귀가 후 학원 숙제와 학교 프린트가 겹치는 시간에 학생이 겉넓이 문제를 어떤 순서로 읽고 답안을 남기는지 점검하는 편이 실제 준비에 도움이 된다.
겉넓이에서 막힌 순간을 넓게 복습하지 않는다
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보자. 문제에 “가로 5㎝, 세로 3㎝, 높이 2㎝인 직육면체의 겉넓이를 구하고 풀이 과정을 쓰시오.”라고 적혀 있다. 학생은 곧바로 5×3×2=30을 계산한 뒤 “따라서 30㎠”라고 쓴다. 부피를 구하는 식을 겉넓이 문제에 사용한 것이다.
이때 초등 수학 전체를 다시 공부할 필요는 없다. 현재 오답을 만든 선수 개념만 두세 문제로 확인한다.
- 직사각형 한 면의 넓이를 가로×세로로 구하는지 확인한다.
- 서로 마주 보는 면의 크기가 같다는 사실을 표시하게 한다.
- 넓이의 단위와 부피의 단위를 구별하게 한다.
예를 들어 가로 5㎝, 세로 3㎝, 높이 2㎝인 직육면체라면 세 쌍의 면 넓이는 각각 5×3, 5×2, 3×2이다. 따라서 겉넓이는
2×(5×3)+2×(5×2)+2×(3×2)=30+20+12=62㎠
가 된다. 여기서 5×3×2는 부피를 구하는 식이므로 겉넓이 답안에 그대로 쓰지 않는다. 학생이 “부호가 바뀐 순간”처럼 특정 기호나 숫자의 변화만 보고 같은 유형을 다르게 느낀다면, 먼저 겉넓이에서는 음수 계산의 부호 변화가 핵심이 아니라 면의 조합과 단위가 핵심임을 분리해 읽게 해야 한다.
학교 프린트와 문제집을 한 줄에 놓는 방법
학원 문제집에는 “직육면체의 겉넓이를 구하시오.”라고 되어 있고, 학교 프린트에는 “모든 면에 색칠하는 데 필요한 종이의 넓이를 구하시오.”라고 적혀 있을 수 있다. 학생은 표현이 달라지면 전혀 다른 문제라고 판단하며 문제의 숫자부터 계산한다.
이때 두 문제를 나란히 놓고 문장을 전부 베끼지 않는다. 다음 세 가지만 표시한다.
- 구해야 하는 대상: 전체 면의 넓이인지, 일부 면의 넓이인지
- 주어진 길이: 가로·세로·높이 중 무엇인지
- 답의 단위: ㎠인지 ㎤인지
“색칠하는 데 필요한 종이의 넓이”는 모든 겉면을 덮는다는 조건이 있는지 확인해야 한다. 일부 면만 색칠한다면 무조건 전체 겉넓이를 계산해서는 안 된다. 조건이 부족한데 임의로 모든 면이라고 가정하지 않고, 문제에 제시된 면을 그림에 표시한 뒤 필요한 넓이만 더한다.
실패한 한 단계만 다시 수행하기
오답 노트에 문제 전체와 풀이를 반복해서 옮겨 적으면 분량은 늘지만, 어떤 판단이 틀렸는지는 흐려진다. 겉넓이에서는 실패 지점을 다음처럼 짧게 남긴다.
틀린 단계: 5×3×2를 계산함
수정할 기준: 겉넓이는 세 종류의 직사각형 넓이를 각각 구해 마주 보는 면의 수를 반영함
단위 확인: 넓이는 ㎠, 부피는 ㎤
그다음 그림에 가로·세로·높이를 표시하고, 면마다 ① 5×3, ② 5×2, ③ 3×2라고 적는다. 같은 숫자를 다시 넣는 것이 목적이 아니라, 숫자가 바뀌어도 면의 종류를 먼저 찾는 행동을 만드는 것이 목적이다. 학교 프린트와 문제집의 표현이 달라도 공통된 개념을 한 줄에 연결하면, 문제의 외형보다 조건을 기준으로 판단할 수 있다.
다음 문제에서 독립 적용되는지 확인한다
수정 직후 같은 문제를 다시 맞힌 것만으로 종료하지 않는다. 가로 6㎝, 세로 4㎝, 높이 3㎝로 숫자를 바꾸고, “겉면 전체에 칠하는 페인트의 면적”처럼 문장을 바꾼 문제를 제시한다. 학생은 먼저 세 면의 넓이를 적어야 한다.
2×(6×4)+2×(6×3)+2×(4×3)=48+36+24=108㎠
이번에는 답만 쓰지 않고 “서로 마주 보는 면의 넓이가 같으므로 각 넓이에 2를 곱했다”는 근거와 ㎠ 단위를 남기는지 확인한다. 이어서 일부 면만 칠한다는 조건을 추가해 전체 겉넓이를 그대로 사용하지 않는지도 본다. 도형을 회전해 제시하거나 전개도 형태로 바꾸었을 때에도 면의 길이를 다시 표시하면 같은 개념으로 연결된 것이다.
시험 중에는 한 문제에 오래 머물지 않도록 기준을 정한다. 30초 동안 구할 면과 단위를 표시했는데도 식이 시작되지 않으면 문제 번호 옆에 표시하고 다음 문제로 이동한다. 이후 돌아왔을 때 가로·세로·높이, 필요한 면, 단위를 순서대로 적는다. 다음 날에는 숫자를 바꾼 한 문제를 다시 풀고, 일주일 뒤에는 학교 프린트와 다른 표현의 문제를 제한 시간 안에 해결한다. 새로운 조건에서도 풀이 근거와 단위를 남기고, 이미 해결된 오답을 복습 목록에서 뺄 수 있다면 해당 겉넓이 복구 학습은 종료할 수 있다.