일직동 고3 수학과외에서 확인한 순열 풀이의 첫 오류
일직동에서 통학하며 광명시 내 고등학교에 다니는 고3 학생은 이동 시간과 과제 부담 때문에 풀이를 끝까지 되짚기보다 해설의 결론만 확인하는 습관이 있었다. 광명북고등학교, 명문고등학교, 소하고등학교, 진성고등학교, 광명고등학교 등 같은 광명시 생활권의 학교를 오가는 학생에게는 짧은 복습에서도 풀이의 변형 지점을 정확히 찾는 과정이 중요하다.
선택한 순간 순열 조건이 사라졌다
학생이 푼 문제는 다음과 같았다.
남학생 4명과 여학생 3명 중 3명을 뽑아 일렬로 세울 때, 여학생이 적어도 1명 포함되는 경우의 수를 구하여라.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: 남학생과 여학생 중 3명을 선택하므로 7C3이고, 여학생만 뽑는 경우 3C3을 빼면 7C3 − 3C3 = 34이다.
이 식은 틀렸다. 문제는 3명을 뽑은 뒤 일렬로 세우므로 순서를 구분해야 한다. 학생은 조합 기호를 사용하면서 배열 단계인 3!을 빠뜨렸다. 또한 여학생이 한 명도 없는 경우는 남학생 4명 중 3명을 선택한 뒤 배열하는 4C3 × 3!이어야 한다.
틀린 줄을 표시하고 한 단계만 다시 계산하기
- 첫 번째 표시: 7C3을 선택한 순간에 ‘일렬로 세운다’는 조건이 빠졌음을 원 안에 표시한다.
- 관계 확인: 사람을 고르는 것은 조합, 고른 사람의 자리를 정하는 것은 순열이라는 점을 구분한다.
- 식 수정: 전체 배열에서 남학생만 배열한 경우를 빼서 7P3 − 4P3 = 7×6×5 − 4×3×2 = 210−24=186으로 고친다.
- 다른 방식 검산: 여학생을 1명, 2명, 3명 포함하는 경우를 나누면 3C1×4C2×3! + 3C2×4C1×3! + 3C3×3! = 108+72+6=186이다.
두 계산이 모두 186으로 일치하므로, 선택만 센 오답이 아니라 순서까지 반영한 답이 맞는지 확인할 수 있다. 학생은 이후 답안에서 조합 기호가 나온 줄 옆에 ‘자리 배열 여부’를 직접 적고, 배열 조건이 있으면 r! 또는 순열 기호를 검토했다.
중복을 허용하면 같은 오류가 어떻게 달라지는가
독립 검증에서는 조건을 바꾸었다.
숫자 1, 2, 3, 4, 5 중 서로 다른 숫자를 사용하여 세 자리 자연수를 만들 때, 홀수가 되는 수의 개수를 구하여라.
일의 자리가 홀수여야 하므로 일의 자리는 1, 3, 5 중 3가지이다. 백의 자리는 남은 4가지, 십의 자리는 남은 3가지이므로
3×4×3=36
이다. 학생은 처음에 5C3=10이라고 썼지만, 이는 숫자를 선택했을 뿐 자릿값의 순서를 세지 않은 오답이다. 실제로 선택한 세 숫자마다 배열이 달라지고, 홀수 조건은 일의 자리에 적용되므로 단순히 5C3×3!로 계산해서도 안 된다. 수정식 3×4×3에 각 자리의 조건을 먼저 반영한 뒤, 가능한 수를 작은 예로 나열해 중복이 없는지 확인했다.
이처럼 일직동 생활권에서 짧은 시간에 순열을 복습할 때도 정답만 베끼지 않고, 선택과 배열이 갈라지는 첫 줄을 찾아야 한다. 조건이 바뀌어도 변수의 자리와 순서를 끝까지 추적하는 것이 고3 순열 풀이의 핵심이다.