일직동고1수학과외, 행렬 뺄셈에서 두 번째 행렬의 부호 바꾸기
일직동에서 학교와 귀가 이동을 마친 뒤 수학 과제를 이어 가는 상황에서는 짧은 풀이 시간에 계산을 서두르기 쉽다. 광명시 내 통학권 참고 학교의 고1 수학 프린트를 풀 때도 행렬 뺄셈은 숫자를 먼저 계산하기보다 연산의 구조를 먼저 확인해야 한다.
뺄셈 기호 뒤의 행렬 전체가 바뀐다
행렬의 뺄셈은 같은 위치의 원소끼리 계산한다. 그러나 두 번째 행렬이 통째로 빼지는 형태이므로, 덧셈으로 바꾸어 쓸 때는 두 번째 행렬의 모든 원소에 −1을 곱한다.
예를 들어
A = [[4, -2], [1, 5]], B = [[-3, 6], [2, -1]]
일 때
A − B = [[4, -2], [1, 5]] − [[-3, 6], [2, -1]]
는
[[4, -2], [1, 5]] + [[3, -6], [-2, 1]]
로 바꾼 뒤 계산한다. 따라서 결과는
[[7, -8], [-1, 6]]
이다. 첫 번째 행렬의 부호는 그대로 두고, 두 번째 행렬의 원소만 각각 반대로 바꾼다.
숫자를 먼저 고른 뒤 부호를 붙인 풀이
관찰된 답안에서는 두 번째 행렬의 부호를 바꾸는 표시 없이 바로 원소를 계산했다. 예를 들어 위 문제에서 두 번째 행렬의 첫째 행을 [−3, 6] 그대로 사용해 첫째 원소를 4 + (−3) = 1로 적었다. 이 값은 실제로는 4 − (−3) = 7이어야 한다.
이 오류는 숫자 계산 자체보다 개념·조건·계산·표현 중 조건 확인이 빠진 경우에 해당한다. 특히 행렬 뺄셈이라는 연산 조건을 확인하지 않은 채 숫자의 크기와 부호를 나중에 감으로 처리한 것이 잘못된 줄의 출발점이다.
풀이 앞뒤에 같은 표시를 남긴다
훈련할 때는 계산 전에 식 옆에 “두 번째 행렬의 모든 원소 부호 반대”라고 적는다. 위 문제라면 다음처럼 한 줄을 만든다.
−B = [[3, -6], [-2, 1]]
그 뒤 A + (−B)로 계산한다. 풀이가 끝난 후에는 두 번째 행렬의 네 원소가 모두 바뀌었는지 다시 표시한다. −3만 3으로 바꾸고 6이나 2의 부호를 그대로 두었다면, 정확히 그 원소가 있는 줄을 다시 확인한다.
이 과정을 통해 ‘부호를 바꿔야 한다’는 문장을 외우는 데 그치지 않고, 실제 풀이식에서 네 원소 모두에 적용했는지를 확인할 수 있다.
불필요한 수가 섞인 새 문제에서 확인하기
같은 문제를 반복하지 않고 다음 식으로 점검한다.
C = [[7, 0], [-4, 3]], D = [[5, -2], [1, 6]]
C − D를 구하되, 문제에 계산과 관계없는 수 9를 함께 적어 둔다. 학생이 먼저 두 번째 행렬을
−D = [[-5, 2], [-1, -6]]
로 바꾸면
C − D = [[2, 2], [-5, -3]]
를 얻는다. 이때 확인할 지점은 정답만이 아니라 D의 네 원소가 모두 부호 반전된 줄을 스스로 작성했는가이다. 관계없는 수 9에 시선이 끌려도 행렬의 연산 조건을 먼저 기록했다면 같은 오류를 피한 것으로 판단한다.
짧은 풀이에서도 남겨야 할 수학적 흔적
통학 후 시간이 부족하더라도 행렬 뺄셈에서는 중간 표시 한 줄이 계산을 대신한다. 두 번째 행렬의 부호를 바꾼 행렬을 먼저 만들고, 마지막에 모든 위치의 원소를 대조하면 숫자를 임의로 정한 뒤 부호를 붙이는 습관에서 벗어날 수 있다.