“나무에서 18m 떨어진 지점에서 꼭대기를 올려다본 각이 35°이므로 18×tan35°로 계산하면 됩니다.” 소하동의 한 중3 학생은 이렇게 풀이를 시작했지만, 문제에는 관찰자의 눈높이 1.5m가 함께 제시되어 있었다. 학생이 구해야 하는 것은 눈높이에서 나무 꼭대기까지의 높이가 아니라, 지면에서 꼭대기까지의 전체 높이였다.
tan을 쓰기 전에 무엇을 구하는지 먼저 확인하기
거리나 높이를 묻는 삼각비 문제에서 계산식부터 고르면 비슷한 모양의 문제도 쉽게 뒤섞인다. 먼저 그림을 그리고 기준각을 표시한 뒤, 구하는 선분과 이미 주어진 선분의 관계를 확인해야 한다. 기준각에서 마주 보는 변이 대변이고, 기준각과 맞닿은 변 중 빗변이 아닌 것이 인접변이다.
예를 들어 지면에서 나무까지의 수평거리가 18m이고, 눈높이에서 나무 꼭대기를 올려다본 각이 35°라면 눈높이와 나무 꼭대기가 직각삼각형의 두 점이 된다. 따라서
tan35° = (눈높이에서 꼭대기까지의 높이) ÷ 18
이고, 눈높이에서 꼭대기까지의 높이는 약 18tan35°이다. 여기에 관찰자의 눈높이 1.5m를 더해야 나무의 전체 높이를 얻는다.
전체 높이 = 18tan35° + 1.5 ≈ 14.1m
학생은 처음에 18tan35°만 계산했으므로 약 1.5m가 빠졌다. 계산기가 틀린 것이 아니라 문제의 조건을 어느 구간에 적용할지 결정하지 않은 것이 오류의 출발점이었다.
같은 ‘거리’라도 기준각에 따라 변의 이름이 달라진다
다른 문항에서는 건물에서 20m 떨어진 곳에서 꼭대기를 바라본 각이 40°이고, 관찰자의 눈높이가 1.6m였다. 학생은 앞 문제와 같은 방식으로 tan40°를 사용했지만, 이번에는 구하는 대상이 건물의 높이가 아니라 건물에서 관찰자까지의 실제 시선 거리였다.
이때 수평거리 20m는 인접변이고, 시선은 빗변이다. 따라서 건물의 꼭대기까지의 시선 거리는
cos40° = 20 ÷ 시선 거리
시선 거리 = 20 ÷ cos40°
로 구해야 한다. tan을 사용하면 높이 차이를 구하게 되므로 질문과 계산 결과가 달라진다. 학생에게 “어떤 삼각비를 외웠는가?”보다 “답으로 나와야 하는 선분이 어느 변인가?”를 먼저 말하게 하자, 식을 바로 쓰던 행동이 멈추고 그림 위에 구하는 선분을 표시하기 시작했다.
소하중학교 프린트에서 나타난 첫 행동
소하동 지역 내 중학교로 확인된 소하중학교, 안서중학교, 충현중학교의 학교별 실제 시험 범위나 수행평가 일정은 제공된 자료만으로 단정할 수 없다. 다만 소하3단지와 소하상업지구, 소하2단지가 이어지는 생활권에서 학교 일정과 평일 귀가 시간을 함께 놓고 계획을 세울 때에는, 삼각비 문제를 무작정 여러 장 풀기보다 한 문항에서 조건을 분류하는 시간을 확보하는 편이 적절하다.
학생은 학교 프린트의 “절벽에서 30m 떨어진 곳에서 꼭대기를 바라본 각이 28°”라는 문항을 보고 곧바로 30tan28°를 계산했다. 그런데 문항의 질문은 “절벽의 높이”가 아니라 “절벽 꼭대기까지의 거리”였다. 학생의 풀이에는 기준각 표시도, 구하는 선분 표시도 없었다.
수정할 때는 다음 네 가지 표시만 사용했다.
- 기준각에 작은 호를 그린다.
- 구하는 선분에 물음표를 붙인다.
- 주어진 길이가 대변인지 인접변인지 확인한다.
- sin, cos, tan 중 분자와 분모에 필요한 변이 함께 나오는 것을 고른다.
절벽 높이를 h, 꼭대기까지의 거리를 d라고 하면 수평거리 30m는 인접변이다. 높이를 구할 때는 tan28° = h÷30을 사용하지만, 꼭대기까지의 거리를 구할 때는 cos28° = 30÷d를 사용한다. 같은 그림에서 질문만 달라져도 식이 바뀌는 이유를 학생이 말로 설명하게 한 뒤 계산하게 했다.
눈높이 조건은 마지막에 더하는 값이 아니다
눈높이가 포함된 문제에서는 그 값이 항상 더해지는 것은 아니다. 지면에서 각을 측정했다고 했는지, 관찰자의 눈에서 각을 측정했다고 했는지부터 확인해야 한다. 눈높이에서 꼭대기까지의 각이라면 직각삼각형의 세로변은 전체 높이가 아니라 ‘전체 높이-눈높이’이다.
예를 들어 수평거리 24m, 고도각 30°, 눈높이 1.5m인 경우에는
tan30° = (전체 높이 - 1.5) ÷ 24
이므로 전체 높이는 24tan30° + 1.5이다. 반대로 지면과 나무 밑부분을 잇는 선을 기준으로 각을 측정했다면 눈높이를 별도로 더하는 방식이 성립하지 않을 수 있다. 문제에 없는 측정 위치를 임의로 가정하지 않고, 각이 어디에서 만들어졌는지 확인해야 한다.
귀가 뒤 20분에 할 수 있는 조건 판별 훈련
평일 귀가 시간이 늦은 날에는 풀이량보다 세 문항의 조건 분류를 우선했다. 학생은 각 문항에서 계산하지 않고 먼저 ‘구하는 것’, ‘기준각’, ‘알고 있는 길이’를 표에 적었다. 첫 문항은 높이, 두 번째는 시선 거리, 세 번째는 수평거리였다. 같은 삼각형이라도 구하는 변이 달라지면 선택할 삼각비가 달라진다는 점을 한눈에 확인하기 위한 방법이다.
수평거리 15m와 높이 8m가 주어지고 경사면의 길이를 구하는 문제에서는 삼각비를 억지로 선택하지 않고 피타고라스 정리를 사용해야 한다. 그러나 이것은 다른 단원을 덧붙이는 것이 아니라, 거리 문제에서 주어진 조건이 어떤 관계를 이루는지 판별하는 과정이다. 학생은 처음에는 모든 문제에 tan을 적용했지만, 직각삼각형의 두 직각변이 모두 주어진 경우에는 먼저 빗변을 묻는지 확인하도록 수정했다.
새 숫자와 질문으로 독립적으로 확인하기
며칠 뒤 숫자와 표현을 바꾼 문제를 제시했다. 전망대에서 지면의 한 지점까지 수평거리가 12m이고, 전망대 꼭대기를 바라보는 각이 50°였다. 이번 질문은 전망대의 높이가 아니라 지면의 관찰 지점에서 꼭대기까지의 거리였다.
학생은 도움 없이 기준각을 지면 쪽에 표시하고, 12m를 인접변으로 분류했다. 이어 cos50° = 12÷거리라고 세운 뒤, 거리 = 12÷cos50°로 계산했다. 이전 문제의 숫자 20이나 각 40°를 기억해 답한 것이 아니라, 질문이 요구하는 선분과 주어진 변의 관계를 다시 찾아낸 것이다.
마지막으로 “이번에는 관찰자의 눈높이가 1.4m라면?”이라고 조건을 바꾸었지만, 학생은 시선 거리에는 눈높이를 더하지 않고, 높이를 구하는 경우에만 눈높이 조건이 세로변에 어떻게 들어가는지 구분했다. 삼각비 거리 문제의 학습 기준은 정답 개수보다 새 조건에서 기준각, 구하는 변, 주어진 변을 스스로 표시하는가에 두었다.