광명동중3수학과외, 높이 구하기에서 그림이 바뀌어도 같은 원리 적용하기
학생은 직각삼각형 그림에서 밑변 8m, 높이 h, 빗변 10m가 표시된 문제를 보고 곧바로 “높이는 10-8=2m”라고 적었다. 숫자를 빼는 계산은 할 수 있었지만, 무엇이 직각을 이루는지와 구하려는 높이가 어느 변인지 확인하지 않은 채 풀이를 시작한 것이다. 높이 구하기는 그림의 모양이나 숫자보다 먼저 기준이 되는 각과 변의 관계를 정해야 하는 문제다.
높이를 구하기 전, 직각과 기준각부터 표시한다
같은 문제라도 그림이 오른쪽으로 기울어져 있거나, 높이가 세로가 아닌 선분으로 그려지면 학생은 쉽게 밑변과 높이를 바꿔 읽는다. 따라서 문제를 보자마자 숫자에 동그라미를 치는 대신 직각 표시를 찾고, 구하려는 선분에 h를 적는다. 그다음 기준각을 하나 정해 기준각의 맞은편 변이 대변, 기준각과 붙어 있으면서 빗변이 아닌 변이 인접변임을 표시한다.
예를 들어 기준각이 30°이고 빗변의 길이가 10m이며, 구하는 높이가 기준각의 맞은편에 있다면 높이는 대변이다. 이때 사용할 비는
sin 30° = 높이 / 10
이다. sin 30°=1/2이므로
1/2 = h/10, h=5
가 된다. 학생이 처음 적은 10-8과 달리, 이 풀이에서는 높이가 왜 5m인지 삼각비의 관계로 설명할 수 있다.
같은 그림에서도 기준각이 바뀌면 대변이 달라진다
학생이 자주 보이는 오답은 sin을 외워서 쓰되 기준각을 확인하지 않는 것이다. 기준각을 30°에서 다른 꼭짓점의 각으로 옮기면 같은 높이도 더 이상 대변으로 읽히지 않을 수 있다. 예를 들어 높이를 기준각에 붙어 있는 변으로 보게 되면 cos 또는 tan을 검토해야 한다. 중요한 것은 sin, cos, tan 중 하나를 먼저 고르는 것이 아니라, 기준각에서 보이는 두 변의 위치를 비교하는 순서다.
기준각 표시 → 빗변 확인 → 구하는 변이 대변인지 인접변인지 판단 → 삼각비 식 작성
이 네 단계를 풀이 여백에 짧게 남기면 그림이 회전되어도 판단 근거가 사라지지 않는다. 특히 빗변은 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변이므로, 단순히 그림에서 가장 길어 보이는 선을 빗변이라고 정하지 않도록 한다.
광명동 생활 리듬에 맞춘 풀이 기록
광명동에서는 광남중학교와 광문중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 가림중학교·광명북중학교·광명중학교는 같은 광명시의 참고 학교다. 학교와 주거지의 실제 이동거리에 따라 하교 후 책상에 앉을 수 있는 시간이 달라질 수 있어, 모든 학생에게 같은 양의 문제를 배정하기보다 한 문항의 판단 과정을 남기는 방식이 적절하다. 광명역세권5단지나 광명자이더샵포레나1단지처럼 생활권이 나뉘는 곳에서도 이동 뒤 학습 가능 시간이 다를 수 있으므로, 긴 풀이를 무리하게 늘리기보다 ‘기준각-빗변-구하는 변’ 표시를 먼저 완성하게 한다.
수업에서는 학생이 맞힌 문제도 식만 확인하지 않는다. “왜 sin을 썼어?”라는 질문에 “높이를 구하는 공식이라서요”라고 답한다면 아직 그림의 조건을 읽은 것은 아니다. 학생이 “30°의 맞은편이 높이이고, 10m는 직각의 맞은편이라 빗변이므로 sin을 썼다”고 말할 수 있어야 한다. 이 설명이 나오지 않으면 숫자와 그림을 바꾼 문제에서 다시 같은 선택을 반복할 가능성이 높다.
계산보다 먼저 고치는 한 줄
학생의 풀이가
cos 30° = h/10
으로 시작했다면, 계산을 다시 시키기 전에 왜 h를 인접변으로 보았는지 묻는다. 그림에서 h가 30°의 맞은편에 있다면 cos가 아니라 sin을 써야 한다. 수정할 때는 기존 식을 지우게 하지 않고, 기준각에 점을 찍은 뒤 맞은편 선분을 손가락으로 따라가게 한다. 이어서
sin 30° = h/10 → h=5
라고 다시 쓰고, 구한 높이가 빗변 10m보다 큰지 작은지도 확인한다. 높이가 5m로 나온 결과는 빗변보다 작으므로 길이 관계에도 맞는다.
숫자와 그림을 바꾼 뒤에도 첫 행동이 남는가
다음 확인 문제에서는 30°를 45°로, 빗변 10m를 14m로 바꾸고 높이를 구하게 한다. 그림은 반대 방향으로 기울여 높이를 비스듬한 선분으로 제시한다. 학생이 이전 답 5를 기억해 쓰는지 보려는 것이 아니라, 새 그림에서 직각 표시를 찾고 기준각의 맞은편에 h를 표시하는지 확인한다.
높이가 대변이고 빗변이 14m라면
sin 45° = h/14
이므로 h=14sin45°=7√2m이다. 학생은 7m라고 반올림하거나, 14-45를 계산하지 않고, 주어진 각에 맞는 삼각비 식을 세워야 한다. 마지막에는 7√2가 약 9.9이므로 빗변 14보다 작은지 확인한다.
또 다른 문제에서는 같은 45°를 유지하되 높이를 기준각에 인접한 변으로 배치하고, 대변의 길이를 12m로 제시한다. 이때 학생이 곧바로 sin을 쓰면 멈춰 세운다. 기준각에서 h가 인접변이라면 tan 45°=12/h 또는 cos 45°=h/빗변처럼 주어진 길이와 연결되는 비를 다시 선택해야 한다. 정답보다 먼저 “이 선분은 기준각에서 어느 위치인가?”를 말하게 하는 것이 독립 적용의 기준이다.
높이 구하기를 끝냈다고 판단하는 시점은 비슷한 그림을 한 번 더 맞혔을 때가 아니다. 숫자, 부호, 그림의 방향, 구하는 선분이 달라졌을 때도 학생이 직각과 기준각을 찾아 삼각비를 선택하고, 결과가 변의 길이 조건에 맞는지 검산할 때다.