광명동중1수학과외, 다면체의 식을 그림에 표시하고 설명하는 연습
“직육면체의 겉넓이는 2×(가로×세로)+2×(세로×높이)+2×(높이×가로)니까 계산하면 돼요.” 한 중1 학생의 답은 맞았지만, 왜 각 곱셈에 2가 붙는지 설명하지 못했다. 그림에서 서로 마주 보는 면을 표시하지 않은 채 공식을 외워 계산했기 때문이다. 이 경우 숫자가 바뀌거나 전개도가 회전하면 같은 식을 다시 만들지 못할 가능성이 크다.
광명동에는 광남중학교와 광문중학교가 있고, 같은 광명시의 참고 학교로 가림중학교·광명북중학교·광명중학교가 있다. 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 복습 가능한 시간이 달라질 수 있으므로, 긴 풀이를 한 번에 끝내기보다 현재 학교 자료에서 다면체 문제를 재현하고 설명하는 시간을 먼저 확보하는 방식이 적절하다.
눈으로만 입체를 판단할 때 생기는 오류
다면체 문제에서 학생은 그림을 대충 본 뒤 “이 면은 앞면, 저 면은 옆면”이라고 정하고 바로 공식을 찾는다. 그러나 입체도형은 보이지 않는 면이 있고, 같은 모양의 면이 몇 개 있는지 그림만으로 즉시 구분하기 어렵다. 전개도에서는 면의 위치가 달라지므로 표시 없이 계산하면 면을 빠뜨리거나 같은 면을 두 번 세기도 한다.
예를 들어 가로 5cm, 세로 3cm, 높이 2cm인 직육면체의 겉넓이를 구한다고 하자. 학생이 5×3+3×2+5×2=31이라고 쓰는 것은 세 종류의 면 넓이만 더한 것이다. 겉넓이는 각 종류의 면이 서로 마주 보며 2개씩 있으므로 2×(5×3)+2×(3×2)+2×(5×2)=62cm²이다. 여기서 2는 임의로 붙인 숫자가 아니라, 같은 넓이의 면이 두 장씩 존재한다는 도형의 구조를 나타낸다.
계산 전에 그림에 남길 세 가지 표시
먼저 그림에서 서로 마주 보는 면을 같은 기호로 묶는다. 앞면과 뒷면에는 동그라미, 윗면과 아랫면에는 세모, 왼쪽과 오른쪽 면에는 네모를 표시할 수 있다. 보이지 않는 면도 선을 따라 추정하지 말고, 주어진 모서리의 길이를 연결해 표시한다.
- 같은 모양과 크기의 면을 한 쌍으로 표시한다.
- 각 면의 가로와 세로가 어떤 모서리 길이인지 선으로 연결한다.
- 계산식 옆에 “이 항은 어느 두 면의 넓이인가?”를 짧게 적는다.
그 다음 식을 바로 계산하지 않고 말로 먼저 재현한다. “가로×세로인 면 두 개, 세로×높이인 면 두 개, 높이×가로인 면 두 개를 더한다.” 이 문장이 완성되면 식은 2×(가로×세로)+2×(세로×높이)+2×(높이×가로)처럼 자연스럽게 만들어진다. 괄호를 사용하는 이유도 함께 말한다. 괄호 안은 한 면의 넓이이고, 앞의 2는 그 면과 같은 면의 개수이다.
한 문제를 오래 붙잡는 대신 풀이를 재현하기
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학교 프린트의 직육면체 문제를 15분 동안 바라보다가 답지를 확인하고 식을 베낀다. 이후 다른 자료에서 비슷한 문제가 나오면 공식만 기억해 5×3+3×2+5×2처럼 다시 틀린다. 이때 필요한 것은 선행 진도를 더하는 일이 아니라, 한 자료를 덮은 뒤 도형의 구조와 식을 스스로 다시 만들어 보는 과정이다.
교과서와 프린트를 동시에 펼치지 않고 한 자료만 선택한다. 문제를 읽은 뒤 입체의 모서리에 길이를 적고, 면의 쌍을 표시한다. 답을 보지 않은 상태에서 식을 작성한 다음 각 항의 의미를 말한다. 계산 결과가 맞아도 표시와 설명 중 하나가 빠졌다면 ‘완료’가 아니라 ‘보류’로 기록한다.
특히 전개도에서는 면 번호를 붙이는 것이 도움이 된다. 가운데 면을 1번으로 정하고 주변 면을 2·3·4·5번, 접었을 때 마주 보는 면을 6번처럼 표시한다. 모든 면의 넓이를 한 번씩만 세었는지 확인한 뒤 같은 크기의 면이 몇 개 생기는지 다시 묻는다. 전개도의 모양을 외우는 대신 접힌 뒤의 면 관계를 복원하는 것이다.
식의 이유를 말한 뒤 계산하는 검증
첫 번째 재풀이에서는 가로 5cm, 세로 3cm, 높이 2cm를 사용한다. 다음에는 숫자를 바꿔 가로 4cm, 세로 4cm, 높이 1cm로 제시한다. 이때 2×(4×4)+2×(4×1)+2×(1×4)=56cm²가 된다. 학생이 이전 결과 62를 기억해 답하는 것이 아니라, 정사각형인 두 면과 나머지 두 쌍을 새로 표시하는지 본다.
그 다음에는 같은 직육면체의 전개도를 회전하거나, 일부 면에만 길이를 적은 그림을 제시한다. 숫자를 읽는 순서가 달라도 “각 면의 넓이와 면의 개수를 먼저 확인한다”는 절차가 유지되어야 한다. 마지막으로 겉넓이가 아닌 부피를 묻는 문제를 섞을 수 있다. 가로 5cm, 세로 3cm, 높이 2cm라면 부피는 5×3×2=30cm³이며, 여섯 면의 넓이를 더하는 겉넓이와 구하는 대상이 다르다. 단위를 cm²와 cm³로 구분해 말하는지도 확인한다.
검증은 같은 문제를 곧바로 다시 맞히는 것으로 끝내지 않는다. 다음 날 숫자를 바꾼 문제를 다시 풀고, 일주일 뒤에는 전개도 방향과 단위를 바꾼 문제를 제시한다. 그림에 면 표시를 남기고, 식의 각 항이 나타내는 면을 설명하며, 계산 결과와 단위를 확인하면 해당 다면체 유형은 독립 적용 단계로 넘길 수 있다. 반대로 식은 맞지만 표시와 설명을 생략한다면 정답보다 풀이 구조를 다시 재현한다.