신림동중3수학과외, 복합 근호식 계산을 변형 문제까지 연결하는 법
학생이 다음 식을 보고 바로 계산을 시작했다.
√12 + √27 − √3
처음 적은 답은 √42였다. 근호 안의 수를 그대로 더한 뒤 마지막에 빼는 방식이었다. 이 장면에서 필요한 것은 단순히 계산량을 늘리는 일이 아니다. 복합 근호식에서는 각 근호를 같은 근호의 형태로 바꿀 수 있는지 먼저 판단하고, 그다음 계수끼리 계산해야 한다.
√ 안의 수를 먼저 분해해야 하는 이유
√12는 √(4×3)이므로 2√3, √27은 √(9×3)이므로 3√3으로 바꿀 수 있다. 따라서 주어진 식은 다음처럼 정리된다.
√12 + √27 − √3
= 2√3 + 3√3 − √3
= (2+3−1)√3
= 4√3
학생이 처음 놓친 지점은 덧셈 자체가 아니라 근호 안의 수를 완전제곱수와 나머지의 곱으로 분해하는 첫 행동이었다. 수업에서는 √12, √27, √3을 한 줄에 놓고 각각 어떤 완전제곱수가 빠져나오는지 표시하게 했다. √12에서 4를 찾고, √27에서 9를 찾은 뒤, 같은 √3이 만들어졌는지 확인하도록 했다.
계산 가능한 항과 그대로 남는 항 구분하기
모든 근호가 하나의 항으로 합쳐지는 것은 아니다.
√18 + √8 − √2
이 식에서 √18=3√2, √8=2√2이므로
3√2 + 2√2 − √2 = 4√2
가 된다. 반면 √2+√3은 근호 안의 수가 다르므로 √5로 바꿀 수 없다. 학생이 자주 쓰는 √2+√3=√5라는 식은 곱셈의 성질과 덧셈을 혼동한 결과다. √a√b=√ab는 조건에 맞는 곱셈에서 사용할 수 있지만, √a+√b=√(a+b)는 성립하지 않는다.
따라서 풀이 줄마다 ‘완전제곱수 분해’, ‘같은 근호끼리 정리’, ‘서로 다른 근호는 유지’라는 세 가지 판단을 나누어 적게 했다. 계산 결과가 맞아 보여도 마지막에 원래 식과 같은 종류의 항으로 정리되었는지 확인해야 한다.
분모의 근호를 없애는 과정에서 부호를 놓치지 않기
복합 근호식은 분모 유리화가 이어질 때 실수가 더 잘 드러난다. 예를 들어
3/√2
를 계산할 때 분자와 분모에 √2를 곱하면
3/√2 × √2/√2 = 3√2/2
이다. 학생이 분모에만 √2를 곱해 3√2/2를 적는 경우가 있는데, 결과는 우연히 같아 보여도 식의 변형 근거가 빠져 있다. 분모와 분자에 같은 값을 곱했다는 표시가 있어야 한다.
분모가 2+√3처럼 한 항이 아닐 때는 켤레식을 사용한다.
1/(2+√3) × (2−√3)/(2−√3)
= (2−√3)/(4−3)
= 2−√3
여기서는 (2+√3)(2−√3)=4−3이라는 곱셈공식을 이용한다. 학생에게는 켤레식을 기계적으로 외우게 하기보다, 가운데 항이 사라지는 구조를 먼저 확인하게 했다. 분모의 유리화 뒤에는 반드시 분모에 근호가 남아 있지 않은지, 다시 곱했을 때 원래 분수가 되는지 확인한다.
신림동의 이동 시간을 풀이 점검 시간으로 바꾸기
광신중학교, 난우중학교, 남강중학교, 남서울중학교, 미성중학교, 삼성중학교처럼 신림동 안에 있는 학교의 학생이라도 방과 후 이동 경로는 서로 다를 수 있다. 신림현대아파트나 신림동 우방아파트 인근에서 출발하거나 당곡역 방향으로 이동한 뒤 수업에 참여하는 경우에는 긴 과제보다 그날 틀린 근호식 한두 개를 다시 말로 설명하는 시간이 효율적이다. 수업에서는 이동 후 바로 새 문제를 많이 풀기보다, 학생이 적어 둔 풀이에서 첫 분해 줄과 마지막 검산 줄을 확인한다.
지역 내 학교와 같은 관악구의 참고 학교를 구분해 학습 일정을 세우는 것도 필요하다. 제공된 자료상 신림동 내 고등학교와 관악구 전체 고등학교 수는 서로 다른 범위의 정보이므로, 이를 중학교별 시험 경향처럼 확대해 단정하지 않는다. 현재 학교의 프린트와 학생이 실제로 막힌 식을 중심으로 시간을 배치한다.
숫자가 바뀌어도 같은 첫 행동을 하는가
앞의 식을 익힌 직후 같은 식을 다시 쓰게 하지 않고 다음 문제를 제시했다.
√45 − √20 + 2√5
학생이 먼저 √45=3√5, √20=2√5라고 적었다면 핵심 절차를 기억한 것이 아니라 적용한 것이다.
3√5−2√5+2√5=3√5
라는 결과를 얻은 뒤에는 계수의 부호를 다시 확인하게 했다. 특히 −√20을 −2√5로 옮길 때 마이너스가 계수에 붙는지 살폈다. 이어서
√50 − 3√8 + √18
을 계산하게 하면 √50=5√2, √8=2√2, √18=3√2이므로
5√2−3(2√2)+3√2 = 2√2
가 된다. 여기서 괄호를 생략하면 −3×2√2를 −3+2√2처럼 잘못 처리할 수 있다. 학생은 각 근호를 바꾼 뒤 원래 계수와 곱하는 줄을 따로 적어야 한다.
답보다 먼저 확인할 세 줄
- 각 근호 안에서 완전제곱수를 찾아 분해했는가.
- 같은 근호의 항만 계수끼리 계산했는가.
- 부호와 분모를 포함해 원래 식에 다시 대입할 수 있는 형태인가.
이 세 줄을 도움 없이 적은 뒤 새로운 숫자의 식을 끝까지 해결한다면 복합 근호식 계산을 독립적으로 적용하는 단계에 가까워진다. 문제집 진도보다 중요한 것은 √45가 나왔을 때도 √9×5를 먼저 떠올리고, −3√8에서 계수와 부호를 분리해 처리하는가이다.