신림동중1수학과외, 배수 관계 문장제에서 숫자보다 수량 연결을 먼저 읽는 연습
“큰 수가 작은 수의 4배이므로 큰 수는 4를 곱하면 된다.” 이 문장을 보고도 어떤 수에 4를 곱해야 하는지 바꾸어 쓰는 학생이 있다. 계산 자체는 할 수 있지만, 문장 속 수량의 방향을 정하지 않은 채 숫자부터 식에 넣기 때문이다. 중1 배수 관계 문제에서는 숫자를 모두 찾는 것보다 ‘무엇이 기준이고 무엇이 그 몇 배인가’를 먼저 연결해야 한다.
신림동에서 광신중학교, 난우중학교, 남강중학교, 남서울중학교, 미성중학교, 삼성중학교 등의 학교 자료를 참고해 현행 학습을 점검할 때도 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 교과서와 학교 프린트에 나온 배수 관계 표현을 학생이 식으로 옮기는 과정을 확인하는 것이 적절하다. 신림현대아파트나 신림동 우방아파트에서 이동한 뒤 당곡역 주변 일정까지 이어지는 방과 후에는 긴 문제를 무작정 붙잡기보다, 짧은 문장제 하나를 정확히 해석하는 방식으로 자습 시간을 사용할 수 있다.
배수 관계를 읽을 때 먼저 정할 것
예를 들어 연필이 6자루이고 볼펜이 연필의 3배라는 문제를 보자. 여기서 기준 수량은 연필이다. 볼펜의 수량은 연필 수량에 3을 곱한 값이므로 다음처럼 화살표를 그린다.
연필 6자루 → ×3 → 볼펜 18자루
학생이 자주 쓰는 잘못된 식은 6＋3 또는 3÷6이다. ‘3배’라는 말을 계산 기호 하나로만 기억하고, 3이 수량인지 배수인지 구분하지 않았기 때문에 생긴다. 반대로 “볼펜이 18자루이고 연필의 3배”라고 주어지면 연필 수량을 구하는 식은 18÷3=6이 된다. 같은 배수 관계라도 구하려는 수량의 위치에 따라 곱셈과 나눗셈이 달라진다.
훈련할 때는 문제를 읽자마자 숫자에 동그라미를 치지 않고, 수량 이름을 먼저 적는다. ‘연필 → 볼펜’, ‘작년 인원 → 올해 인원’처럼 화살표를 그리고, 화살표 위에 ×3 또는 ÷3을 표시한다. 그 다음에 숫자를 대입한다. 머릿속으로만 관계를 유지하려는 학생에게는 이 표시가 계산 순서를 고정하는 역할을 한다.
실제 오답은 계산보다 관계의 방향에서 생긴다
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 다음 문제에서 막힐 수 있다.
남학생 수는 여학생 수의 2배이고, 전체 학생 수가 thirty?
위와 같이 조건이 불완전한 문제는 답을 정할 수 없으므로 임의로 계산하면 안 된다. 대신 완전한 조건을 사용해 보자.
한 반의 여학생 수는 12명이고 남학생 수는 여학생 수의 2배이다. 전체 학생 수를 구하여라.
학생이 12＋2=14라고 답했다면 ‘2배’의 2를 학생 수처럼 취급한 것이다. 또 12÷2=6이라고 했다면 기준 수량과 비교 수량의 방향을 거꾸로 읽은 것이다. 올바른 과정은 ‘여학생 12명 → ×2 → 남학생 24명’을 먼저 적고, 전체를 묻고 있으므로 12＋24=36명으로 계산하는 것이다.
문장제에서 숫자가 세 개 이상 나오면 모든 숫자를 식에 넣으려는 행동도 나타난다. 예를 들어 “상자 4개에 공이 각각 6개씩 들어 있고, 그중 3개를 꺼냈다”에서 상자 수와 개수의 배수 관계를 먼저 처리해야 한다. 4×6=24로 전체를 구한 뒤 24－3=21로 이어진다. 4, 6, 3을 단순히 나열해 4×(6－3)으로 쓰면 ‘각각 6개’라는 조건을 잘못 처리한 것이다.
피곤한 저녁에는 어려운 문제를 붙잡지 않는다
방과 후 이동을 마치고 피곤한 상태에서 고난도 배수 문장제만 계속 풀면, 틀린 이유를 관계 해석에서 찾지 못하고 계산 실수로만 기록하기 쉽다. 이때는 20분 단위로 훈련을 나눈다. 처음 5분은 ‘기준 수량’과 ‘몇 배인지’를 표시하고, 다음 10분은 화살표를 식으로 바꾸며, 마지막 5분은 답이 문장에 맞는지 확인한다.
오답 원인은 세 가지로만 분류한다. 기준 수량을 잘못 잡았는지, 곱셈·나눗셈 방향을 바꾸었는지, 전체 수량을 묻는데 일부 수량만 답했는지 표시한다. 예를 들어 “A는 B의 4배”에서 A와 B의 위치를 바꾸었다면 ‘관계 방향’, 8×4를 해야 하는데 8＋4를 썼다면 ‘배수 기호 해석’으로 적는다. 원인이 계산 자체가 아니라면 같은 유형의 계산만 반복하지 않는다.
수행평가 자료를 짧은 문항으로 바꾸는 방법
수행평가 자료나 긴 학교 프린트는 한 번에 다시 풀지 않고 배수 관계가 드러나는 짧은 문항으로 바꾼다. 예를 들어 자료에 “지난달 모은 페트병 수의 3배를 이번 달에 모았다”는 내용이 있다면 다음 네 단계로 재구성한다.
- 지난달 수량을 기준 수량으로 표시한다.
- 이번 달 수량으로 향하는 화살표에 ×3을 적는다.
- 기준 수량이 15일 때 이번 달 수량을 계산한다.
- 이번 달 수량이 45일 때 지난달 수량을 역산한다.
이렇게 하면 같은 문장을 외워 푸는 것이 아니라, 구하려는 위치에 따라 곱셈과 나눗셈을 선택하게 된다. “전체”, “남은”, “더 많은” 같은 표현이 추가되면 배수 계산 뒤에 덧셈이나 뺄셈이 이어지는지도 표시한다. 단, 배수 관계와 직접 관련 없는 단원을 한꺼번에 섞어 학습 범위를 넓히지는 않는다.
다음 날 새로운 숫자로 독립 확인하기
당일 문제를 맞혔다고 훈련이 끝난 것은 아니다. 다음 날에는 숫자를 바꾸고 관계의 방향을 바꾼 문항을 제시한다. 예를 들어 전날 “노란 공 7개의 3배가 파란 공”이었다면, 다음 날에는 “파란 공 32개는 노란 공의 4배”처럼 나눗셈으로 기준 수량을 구하게 한다. 학생은 계산 전에 ‘파란 공 → ÷4 → 노란 공’ 화살표를 그려야 한다.
일주일 뒤에는 불필요한 정보와 전체 수량 조건을 추가한다. “상자 5개에 사과가 각각 8개씩 있고, 그 수의 2배인 배를 준비했다. 준비한 과일 중 6개를 사용했다”와 같은 문제에서 사과 전체를 먼저 5×8=40으로 구하고, 배를 40×2=80으로 구한 뒤, 사용한 과일의 종류와 수량 조건을 정확히 읽어야 한다. 답을 낸 뒤에는 역산하거나 원문에 대입해 관계를 검산한다.
중2 선행을 시작할지 판단하는 시점에도 기준은 어려운 문제를 많이 풀었는지가 아니다. 새로운 숫자와 문장 표현에서 기준 수량을 표시하고, 화살표를 식으로 바꾸며, 계산 결과를 원래 관계에 대입할 수 있는지가 먼저다. 이전 배수 문장제를 도움 없이 시작하고 변형 조건까지 설명했다면 해당 복습은 종료하고 다음 학습으로 넘어갈 수 있다.