과천중3수학과외, 기준각을 먼저 정해야 삼각비 선택이 달라진다
“높이 6m, 지면과 이루는 각이 30°이므로 sin 30°를 사용하면 되죠?” 과천의 한 중3 학생은 이렇게 말한 뒤, 실제 식에는 6÷sin 30°를 적었다. 답은 계산할 수 있었지만, 무엇을 구하는지와 6m가 기준각에서 어느 변에 해당하는지를 설명하지 못했다. 숫자를 바꾸거나 그림을 돌려 놓으면 곧바로 멈추는 이유도 여기에 있었다.
삼각비 문제에서 계산기는 마지막 단계에 놓인다. 먼저 직각삼각형을 찾고, 기준각을 표시한 뒤, 구하려는 변과 이미 주어진 변의 관계를 정해야 한다. 같은 30°가 제시되어도 주어진 변이 대변인지 인접변인지에 따라 선택할 비가 달라진다.
6m가 대변인지 확인하지 않고 sin을 고른 풀이
학생이 푼 문항은 직각삼각형에서 한 예각이 30°이고, 그 각의 맞은편 변의 길이가 6m일 때 빗변의 길이를 구하는 문제였다. 학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
sin 30° = 6 ÷ x
1/2 = 6 ÷ x
x = 3
첫 번째 식의 방향은 맞았지만 마지막 계산에서 관계를 뒤집었다. 1/2=6/x라면 x=12이다. 6은 기준각의 대변이고 x는 빗변이므로, 대변÷빗변을 나타내는 sin을 사용해야 한다. 6÷12=1/2이므로 결과도 조건과 일치한다.
이 장면에서 계산 실수만 고치면 충분하지 않다. 학생은 ‘sin을 보면 대변과 빗변을 쓴다’고 외웠지만, 기준각을 표시하지 않은 채 문제의 세로 방향을 무조건 대변으로 보았다. 그림이 회전하면 화면 위의 위치는 달라져도 기준각과 마주 보는 변의 관계는 달라지지 않는다.
기준각 표시 후 세 변의 역할을 이름 붙이기
수업에서는 식을 바로 쓰지 않고 문제 그림에 세 가지 표시를 하게 했다. 주어진 각에는 작은 호를 그리고, 그 각과 마주 보는 변에는 ‘대’, 각과 붙어 있지만 빗변이 아닌 변에는 ‘인’, 직각의 맞은편에는 ‘빗’이라고 적는다. 그런 다음 구하려는 양까지 포함해 두 변의 관계를 말로 먼저 표현한다.
예를 들어 기준각이 θ이고 대변의 길이가 6, 빗변이 x라면 “대변과 빗변이 필요하므로 sin θ=대변/빗변”이라고 말한다. 따라서 sin 30°=6/x, x=12가 된다. 반대로 기준각에 붙은 한 변의 길이가 6이고 빗변을 x로 구한다면 sin이 아니라 cos 30°=6/x를 사용한다. 대변과 인접변이 주어졌다면 tan θ=대변/인접변으로 판단한다.
과천문원중학교, 과천율목중학교, 과천중학교 등 대표 중학교의 학생이라도 실제 귀가 시각과 과제량, 시험 준비 순서는 서로 다를 수 있다. 그래서 과외 시간에는 학교 이름만으로 진도를 정하기보다, 귀가 후 학생이 프린트 한 문항에서 어느 순간 멈추는지를 먼저 확인하는 방식이 유용하다. 삼각비 단원에서는 오답 개수보다 기준각 표시 여부와 변의 이름을 적었는지를 살핀다.
비슷한 그림에서도 변의 역할은 기준각에 따라 바뀐다
학생에게 같은 직각삼각형을 두 번 제시했다. 첫 문제에서는 30°에 인접한 변이 8이고 빗변을 구하게 했고, 다음 문제에서는 30°의 맞은편 변이 8이고 빗변을 구하게 했다. 첫 문제에서 학생은 cos 30°=8/x를 세웠다. 두 번째 문제에서는 처음과 같은 모양이라는 이유로 cos를 그대로 사용하려 했다.
두 번째 그림에서 8은 대변이므로 sin 30°=8/x이다. 첫 문제의 식에서는 인접변÷빗변, 두 번째 식에서는 대변÷빗변을 사용한다. 그림의 크기나 방향이 아니라 ‘표시된 기준각에서 어느 쪽에 놓였는가’가 선택 기준이다. 이 차이를 확인하기 위해 학생은 문제마다 계산 전 다음 문장을 완성했다.
- 기준각은 ______°이다.
- 주어진 변은 기준각의 ______이다.
- 구할 변은 ______이다.
- 따라서 사용할 비는 ______이다.
처음에는 문장을 쓰는 데 시간이 걸렸지만, 이후에는 각 표시와 변 이름을 그림에 바로 적었다. sin, cos, tan을 먼저 고르는 대신 필요한 두 변의 관계를 확인하면서 식을 세우게 된 것이다.
정답 뒤에 비율과 크기를 역검산하기
삼각비 계산은 식을 세운 뒤에도 검산할 수 있다. 대변이 6이고 빗변을 구하는 경우 30°에서 sin 값은 1/2이므로 빗변은 대변보다 두 배인 12가 되어야 한다. 3이라는 답이 나오면 빗변이 대변보다 작아졌으므로 즉시 조건과 맞지 않음을 알 수 있다. 빗변은 직각삼각형에서 가장 긴 변이라는 사실도 함께 확인한다.
학생은 답만 적던 습관을 바꾸어 마지막 줄에 “sin 30°=6/12=1/2, 12는 6보다 크므로 빗변 조건에 맞음”이라고 기록했다. 이 한 줄은 계산 결과를 외운 것이 아니라 결과가 도형의 의미와 맞는지를 점검하는 절차가 되었다.
각도와 구하는 대상이 바뀐 새 문제에서 확인하기
다음 학습에서는 숫자만 바꾸지 않고 조건의 제시 순서를 바꾸었다. 직각삼각형에서 빗변이 14, 한 예각이 45°일 때 그 각의 맞은편 변을 구하게 했다. 학생은 먼저 기준각에 표시하고, 구할 변을 대변으로 분류한 뒤 sin 45°=x/14를 세웠다. 따라서 x=14×√2/2=7√2이다.
이번에는 같은 14와 45°를 유지하되 45°에 붙은 직각변을 구하게 했다. 학생은 cos 45°=x/14를 사용해 x=7√2를 얻었다. 두 답의 값이 같아지는 것은 45°의 두 변에 대한 대칭성 때문이지만, 선택 과정은 각각 대변과 인접변을 확인한 결과였다. 도움 없이 기준각, 변의 역할, 삼각비, 결과의 크기를 차례로 점검했다면 삼각비 선택을 독립적으로 적용한 것으로 판단할 수 있다.
중3 삼각비 학습에서 진도표의 문제 수만 늘리는 것보다, 숫자와 그림의 방향이 달라졌을 때도 첫 행동을 유지하는지가 중요하다. 과천 지역에서 학부모가 시험 기간 학습을 점검할 때에는 귀가 후 몇 문제를 풀었는지만 묻기보다, 자녀가 기준각을 표시하고 선택한 비의 이유를 말할 수 있는지 확인하는 편이 실제 준비 상태를 더 잘 보여준다.