부림동중3수학과외, 상황에 맞는 삼각비 선택과 풀이 근거 점검
기준각을 정하지 않고 sin부터 쓰면 풀이가 흔들린다
“높이를 구하는 문제니까 sin을 쓰면 되죠?” 학생은 직각삼각형 그림을 보자마자 식부터 적었다. 그림에는 한 각이 35도로 표시되어 있었고, 빗변의 길이는 12, 구하려는 높이는 각의 맞은편 변이었다. 그러나 학생의 답안에는 sin 35° = 12/x가 적혀 있었다. 실제로는 맞은편 변을 구하는 상황이므로 sin 35° = x/12가 되어야 한다.
이 장면에서 필요한 것은 삼각비 공식을 많이 외우는 일이 아니다. 먼저 기준각을 정하고, 그 각을 기준으로 빗변·대변·인접변을 다시 확인하는 행동이다. 기준각이 달라지면 대변과 인접변의 위치도 함께 달라지므로, 그림에서 위쪽에 있는 변인지 아래쪽에 있는지만 보고 판단해서는 안 된다.
부림동에서 살펴본 통학 조건과 학습 장면
부림동 주소로 확인되는 중학교 정보는 제공 자료에서 확인되지 않았다. 따라서 특정 학교의 시험 방식이나 학교별 난도를 부림동의 특징처럼 단정할 수는 없다. 같은 과천시의 참고 학교로 과천문원중학교, 과천율목중학교, 과천중학교가 제시되어 있지만, 이 학교들은 부림동 소재 학교가 아니라 과천시 범위의 통학권 참고 자료로 구분해야 한다.
중학교에서 고등학교로 넘어가는 시기에는 통학 이동과 과제, 시험 준비가 함께 늘어날 수 있다. 그래서 삼각비 문제를 공부할 때도 긴 시간 여러 문항을 푸는 것보다, 이동 전후의 짧은 학습 시간에 한 문제의 조건을 정확히 읽고 근거까지 남기는 연습이 효율적이다. 예를 들어 학교 프린트의 직각삼각형 한 문항을 풀이한 뒤, 계산기 결과만 적지 않고 ‘35°의 대변을 구하므로 sin 사용’처럼 선택 이유를 한 줄로 쓰게 한다.
같은 그림에서도 구하는 변에 따라 비가 달라진다
학생에게 다음과 같은 직각삼각형을 제시했다. 기준각 A가 35°이고, 빗변이 12cm, A의 맞은편 변을 x라고 하자. 이때 세 변의 관계는 다음처럼 정리된다.
sin 35° = 대변 ÷ 빗변 = x ÷ 12
따라서 x = 12sin35°이고, 계산하면 약 6.88cm이다. 학생이 처음 적은 12/x는 대변과 빗변의 위치를 뒤집은 식이므로, 계산 결과가 나오더라도 풀이 근거가 맞지 않는다.
반대로 A에 붙어 있는 직각이 아닌 변의 길이가 9cm이고 그것을 구해야 한다면, 같은 기준각에서 대변과 인접변의 관계를 사용하여 tan35° = x/9가 된다. 빗변을 구하는 상황이라면 cos35° = 9/x처럼 식의 모양이 달라진다. 같은 35°가 등장한다는 이유만으로 매번 sin을 선택할 수 없는 이유다.
학생이 고친 것은 공식이 아니라 첫 세 줄이었다
풀이를 다시 할 때 학생은 계산기에 숫자를 먼저 입력하지 않고 종이에 다음 세 줄을 작성했다.
- 기준각: 35°
- 구하는 변: 기준각의 맞은편 변
- 알고 있는 변: 빗변 12cm
그다음 ‘대변과 빗변’이라는 단어에서 sin을 선택하고, sin35° = x/12를 세웠다. 마지막에는 계산 결과가 12보다 작은지 확인했다. 직각삼각형에서 빗변은 가장 긴 변이므로, 대변 x가 12보다 크게 나오면 식이나 계산을 다시 봐야 한다.
이 검산은 단순히 답을 다시 계산하는 것과 다르다. 삼각비의 값은 0과 1 사이인 경우가 많고, sin35°도 약 0.574이므로 12sin35°가 12보다 작다는 사실을 이용해 결과의 크기를 판단하는 것이다.
각도를 반대편으로 옮기자 대변도 다시 정해야 했다
다음 시간에는 그림의 모양을 바꾸었다. 한 직각삼각형에서 처음에는 왼쪽 아래 각이 35°로 표시되고, 이번에는 오른쪽 위의 다른 예각이 55°로 표시되었다. 빗변은 그대로 12cm였지만, 학생이 구해야 하는 변은 첫 문제에서 사용한 변과 달랐다.
학생은 처음에 “빗변과 구하는 변이 있으니 sin”이라고 말했다. 그러나 기준각을 55°에 표시하게 하자 구하는 변이 이번에는 기준각에 붙은 인접변이라는 것을 찾아냈다. 따라서 cos55° = x/12로 세워야 했다. 각도 숫자만 바뀐 것이 아니라, 같은 삼각형 안에서 기준각을 옮기면서 대변과 인접변의 이름이 바뀐 것이다.
이때 지도에서는 ‘sin인지 cos인지 기억하기’보다 ‘이 각에서 구하는 변이 어디에 있는가’를 말하게 했다. 학생이 “55°를 기준으로 x는 인접변이고 12는 빗변이므로 cos”이라고 설명한 뒤 식을 적도록 한 것이다. 말로 관계를 설명하지 못하면 공식을 맞게 골라도 우연히 외운 결과일 수 있다.
문장형 문제에서는 그림에 기준각부터 표시한다
“경사로의 길이가 5m이고 지면과 이루는 각이 28°일 때 높이를 구하여라”와 같은 문장에서는 학생이 ‘높이’라는 단어만 보고 sin을 선택하기 쉽다. 이 문제에서는 경사로가 빗변이고, 지면과 이루는 28°를 기준각으로 삼으면 높이는 대변이다. 그러므로 sin28° = 높이/5가 된다.
수정 행동은 문장에 나온 수치를 바로 공식에 넣는 것이 아니다. 학생은 먼저 경사로를 빗변으로 표시하고, 지면과 만나는 점에 28°를 적은 뒤, 수직으로 올라가는 높이에 x를 붙였다. 그 후 대변과 빗변을 확인했다. 문제의 그림이 회전되어 있거나 높이가 오른쪽에 그려져 있어도 이 순서를 지키면 위치에 덜 흔들린다.
도움 없이 바꾼 조건을 확인한 방법
독립 검증에서는 숫자와 구하는 대상을 바꾸었다. 이번에는 기준각이 42°이고, 기준각에 붙은 인접변이 7cm일 때 빗변을 구하게 했다. 학생은 먼저 “구하는 것은 빗변, 알고 있는 것은 인접변”이라고 적고, cos42° = 7/x를 세웠다. 따라서 x = 7/cos42°이며 약 9.42cm이다.
계산 뒤에는 빗변이 인접변보다 길어야 한다는 조건을 확인했다. 만약 7보다 작은 값이 나오면 식을 뒤집었을 가능성이 있다고 판단하기로 했다. 이전 문제의 답을 기억해 적은 것이 아니라, 새로운 각도와 새로운 구하는 대상에서도 기준각 표시, 변의 관계 확인, 삼각비 선택, 크기 검산을 스스로 재현했는지가 확인 기준이었다.
부림동에서 과천시 통학권의 학교 자료를 참고해 학습 일정을 짤 때도 이처럼 한 문항의 풀이 행동을 분명히 남기는 방식이 유용하다. 이동이나 과제 때문에 긴 풀이 시간이 부족한 날에는 삼각비 선택 이유와 결과의 크기 검산까지 완료했는지를 기준으로 학습을 마무리할 수 있다.