경기광주중2수학과외, 조건이 바뀌어도 닮음비 사건과 여사건을 구분하는 연습
확률 문제에서 “반대되는 경우”라는 말만 보고 곧바로 1에서 어떤 수를 빼는 학생이 있다. 그러나 여사건은 단순히 반대처럼 보이는 문장이 아니라, 전체 경우를 빠짐없이 둘로 나누는 사건이어야 한다. 특히 문제의 표현이나 조건이 조금 바뀌면 같은 방식으로 계산할 수 있는지 먼저 판단해야 한다.
이번 학습의 중심은 한 사건을 먼저 정확히 정하고, 그 사건이 일어나지 않는 경우를 문장으로 다시 정의하는 것이다. 도형에서 닮음비를 구하는 문제와 확률의 사건을 연결할 때에도 닮음비 자체를 확률처럼 다루면 안 된다. 닮음비는 대응하는 길이의 비이고, 사건은 어떤 결과들의 모임이다. 두 개념을 섞지 않고 각각의 조건을 구분하는 데 초점을 둔다.
먼저 ‘무엇을 사건으로 볼 것인가’를 쓴다
주머니에 빨간 공 2개와 파란 공 3개가 들어 있고 공 1개를 꺼낸다고 하자. 사건 A를 “빨간 공이 나오는 것”으로 정하면 A의 여사건은 “빨간 공이 나오지 않는 것”, 즉 “파란 공이 나오는 것”이다. 따라서 P(A)=2/5, P(A의 여사건)=3/5이다.
여기서 학생이 “빨간 공의 반대는 파란 공”이라고만 외우면 조건이 바뀔 때 흔들린다. 공을 두 개 연속 꺼내는 문제라면 사건 A를 “적어도 한 개가 빨간 공”이라고 정했을 때 여사건은 “두 개 모두 파란 공”이다. “빨간 공이 나오지 않는다”를 “첫 번째만 파란 공”으로 좁혀 쓰면 전체 경우를 덮지 못한다.
사건 A를 한 문장으로 쓴 뒤, “A가 일어나지 않는 경우는 무엇인가?”를 별도의 문장으로 완성한다.
닮음비 문제와 확률 사건을 혼동하지 않기
삼각형 ABC와 DEF가 닮음이고 대응이 A↔D, B↔E, C↔F라면 AB:DE=BC:EF=CA:FD이다. 닮음비가 2:3이면 넓이비는 4:9이다. 이 과정에는 사건이나 여사건이 없다. 반면 “카드를 한 장 뽑아 숫자가 3의 배수일 사건”은 결과의 모임을 정하는 문제다.
학생은 두 문제에서 모두 “조건에 맞는 것을 고른다”고 생각해 닮음비를 확률의 분모처럼 쓰거나, 확률 문제에서 보이는 숫자를 길이의 비처럼 계산하기도 한다. 따라서 문제를 읽은 직후 ‘길이의 대응을 비교하는가, 결과의 모임을 세는가’를 여백에 표시한다. 닮음비를 구하는 문제에서는 대응점을 먼저 연결하고, 확률에서는 전체 결과와 사건에 해당하는 결과를 따로 적는다.
실제 오답은 계산보다 사건 정의에서 시작된다
“1부터 10까지의 자연수 중 하나를 뽑을 때 3의 배수가 아닐 확률”에서 학생이 사건을 “3의 배수”로 정하지 않고 곧바로 1-3/10을 계산했다고 하자. 답은 7/10으로 맞을 수 있지만, 문제의 조건이 “3의 배수 또는 5의 배수”로 바뀌면 중복을 처리하지 못한다. 3의 배수는 {3, 6, 9}, 5의 배수는 {5, 10}이므로 합쳐지는 수가 없다. 그러나 “3의 배수 또는 6의 배수”라면 6이 중복된다.
또 “주사위를 한 번 던져 홀수가 나올 사건”의 여사건을 “짝수 또는 6이 아닌 수”라고 쓰면 같은 결과를 두 번 설명하거나 범위를 흐리게 만든다. 여사건은 “홀수가 나오지 않는 사건”, 즉 {2, 4, 6}으로 적어야 한다.
풀이를 바꾸는 네 가지 표시
- 문제에서 요구하는 사건을 A라고 정하고 결과를 중괄호 안에 적는다.
- ‘적어도’, ‘이상’, ‘아닌’, ‘또는’에 밑줄을 긋고 조건이 포함되는 범위를 확인한다.
- A의 여사건을 “A가 일어나지 않는 경우”라는 문장으로 먼저 쓴다.
- 전체 결과 수와 사건 또는 여사건의 결과 수를 더해 전체가 되는지 확인한다.
두 사건을 동시에 다루는 경우에는 수형도를 짧게 그린다. 예를 들어 동전을 두 번 던져 “적어도 한 번 앞면”을 A로 정하면 여사건은 “두 번 모두 뒷면”이다. 전체 네 가지 결과 중 A는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞 세 가지이고 여사건은 뒤뒤 한 가지이므로 3/4와 1/4가 합쳐져 1이 된다.
표현이 바뀐 새 문제에서 독립적으로 확인한다
같은 주머니 문제를 다시 풀게 하는 것으로는 충분하지 않다. 숫자와 표현을 바꾼다. 1부터 12까지의 수 중 하나를 뽑아 “4의 배수가 아닌 수”를 사건으로 정하면 여사건은 “4의 배수인 수”이며 {4, 8, 12}이다. 확률은 9/12와 3/12로 나뉜다.
다음에는 주사위를 두 번 던져 “두 눈의 합이 8 이상”의 여사건을 쓰게 한다. 여사건은 “두 눈의 합이 8 미만”이다. ‘8이 아닌 것’이라고 쓰면 합이 9, 10, 11, 12인 경우까지 잘못 포함한다. 시간 제한을 두고 사건 문장, 여사건 문장, 결과 수를 차례로 적게 하며 답지를 보기 전에 첫 문장이 나오는지 확인한다.
경기광주에서의 학습 점검
경안중학교, 경화여자중학교, 곤지암중학교, 광수중학교, 광일중학교, 광주광남중학교 등은 경기광주시 전역에서 참고할 수 있는 대표 학교다. 다만 태전동·탄벌동·쌍령동·오포읍·경안동·초월읍의 생활권과 학생별 주간 일정은 서로 다를 수 있고, 특정 학교의 시험 운영을 다른 학교에 그대로 적용할 수는 없다. 학교 프린트와 수행평가에서 실제로 사용한 표현을 기준으로 사건 정의와 여사건 문장을 점검한다.
FAQ
여사건은 항상 1에서 확률을 빼면 되나요?
먼저 여사건이 전체 결과를 빠짐없이 나누는지 확인해야 한다. 사건이 정확히 정해졌다면 여사건의 확률은 1에서 사건의 확률을 뺄 수 있다.
“적어도 한 번”의 여사건은 어떻게 쓰나요?
“한 번도 일어나지 않는 경우”로 바꾼다. 예를 들어 적어도 한 번 앞면의 여사건은 두 번 모두 뒷면이다.
닮음비와 확률을 함께 묻는 문제는 어떻게 구분하나요?
길이의 대응을 비교하면 닮음비이고, 가능한 결과 중 조건을 만족하는 결과를 세면 확률이다. 풀이 시작 전에 두 개념을 별도로 표시한다.