태전동중2수학과외, 대응변을 먼저 정해 닮음 문제의 첫 접근을 바꾸는 연습
태전동에서 중2 수학을 공부하는 학생 중에는 닮은 도형의 조건을 말할 수 있으면서도 막상 표와 식이 함께 제시되면 첫 줄을 쓰지 못하는 경우가 있다. 특히 수행평가 자료를 정리할 때 도형의 모양만 비슷하게 보고 대응점을 정하지 않은 채 대응변의 순서를 바꾸면, 처음 세운 비례식과 뒤에서 계산한 식의 방향이 달라진다.
이때 필요한 것은 닮음 문제를 많이 푸는 일이 아니다. 기존 문제와 달라진 조건을 하나 찾아 그 조건 때문에 풀이의 어느 부분이 바뀌는지 말하는 훈련이다. 대응점을 같은 순서로 유지하고, 대응변과 닮음비를 한 방향으로 끝까지 사용하는 것이 이번 학습의 중심이다.
수행평가 자료에서 드러난 실제 장면
학생에게 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 닮음이고 A와 D, B와 E, C와 F가 각각 대응한다고 제시했다. 그런데 학생은 그림에서 왼쪽에 있는 변끼리 비교하며 AB와 DF를 대응변으로 적었다. 이어서 AB=6, BC=8, EF=12라는 조건을 보고
6/12=8/□
라는 식을 세웠다. 하지만 AB에 대응하는 변은 DE이고, BC에 대응하는 변은 EF이다. 따라서 올바른 식은
AB/DE=BC/EF
이다. 만약 AB=6, BC=8, EF=12라면
6/DE=8/12
이므로 DE=9가 된다. 학생의 식은 계산 과정만 보면 자연스러워 보이지만, 그림의 위치를 기준으로 대응변을 정했다는 점에서 대응 오류가 발생한 것이다.
닮음 문제의 첫 줄은 숫자를 넣는 줄이 아니라, 어느 점과 어느 점이 대응하는지 고정하는 줄이다.
왜 중2에서 첫 접근이 흔들리는가
중2에서는 닮음 조건, 대응점, 대응변, 닮음비, 넓이비가 한 문제 안에서 연결된다. 학생은 “두 삼각형이 닮았다”는 문장은 기억하지만, 닮음 기호의 순서와 실제 변의 관계를 계속 유지하는 데 어려움을 보인다. 시험범위가 식과 함수, 도형, 확률로 넓게 묶인 시기에는 앞 단원의 풀이를 답지로 확인한 뒤 결과만 옮기는 습관도 나타난다.
또 중1의 도형 용어가 잠시 비어 있더라도 삼각형과 변의 이름 전체를 처음부터 다시 공부할 필요는 없다. 현재 문제에 필요한 것은 대응점의 의미와 변의 양 끝점 확인이다. 이 두 가지를 짧게 확인한 뒤 바로 주어진 닮음 문제로 돌아와야 한다.
대응점을 고정하는 세 단계
- 닮음 기호를 먼저 읽고, 첫 번째 도형의 점 순서와 두 번째 도형의 점 순서를 나란히 적는다. 예를 들어 △ABC∽△DEF이면 A-D, B-E, C-F를 한 줄에 표시한다.
- 변의 이름은 양 끝점으로 확인한다. AB의 대응변은 DE, BC의 대응변은 EF, CA의 대응변은 FD이다. 그림에서 위아래나 좌우 위치가 같다는 이유로 고르지 않는다.
- 닮음비의 방향을 하나로 정한다. 작은 도형/큰 도형으로 시작했다면 모든 대응변을 같은 방향으로 쓰고, 중간에 큰 도형/작은 도형으로 뒤집지 않는다.
학생은 각 문제에서 바로 비례식을 쓰지 않고 먼저 ‘점 대응-변 대응-비례식’ 세 칸을 채운다. 예를 들어 △ABC∽△DEF이고 AB=6, DE=9, BC=8이라면
AB/DE=BC/EF
에서 6/9=8/EF가 된다. 이때 EF=12이다. 답을 구한 뒤에는 6:9와 8:12가 모두 2:3인지 확인한다. 계산 결과가 맞아도 대응변을 잘못 연결했다면 이 검산에서 다시 걸러낼 수 있다.
조건 하나만 바꾸어 풀이의 차이를 말하기
같은 문제를 다시 풀게 하는 대신 조건 하나를 바꾼다. 처음에는 △ABC∽△DEF와 AB=6, DE=9, BC=8을 주고 EF를 구하게 한다. 다음에는 닮음 기호를 △ABC∽△DFE로 바꾼다. 그러면 A-D, B-F, C-E가 대응하므로 AB의 대응변은 DF가 되고 BC의 대응변은 FE가 된다.
학생은 숫자를 계산하기 전에 “닮음 기호의 두 번째와 세 번째 점이 바뀌어서 대응변 표가 달라졌다”고 말한다. 이 설명이 나오지 않으면 식을 세우지 않는다. 기존 문제와 달라진 조건 하나, 그 조건으로 달라진 대응점 하나, 그 결과 바뀐 비례식 하나를 연결해 말하게 한다.
닮음비와 넓이비를 섞지 않는 훈련
길이의 닮음비가 2:3이라면 대응변의 비가 2:3이다. 넓이비는 2²:3², 즉 4:9이다. 학생이 길이비를 구한 뒤 넓이를 묻는 문제에서도 2:3을 그대로 답하지 않도록, 답안 옆에 ‘길이’ 또는 ‘넓이’를 표시한다.
예를 들어 작은 삼각형과 큰 삼각형의 대응변이 4cm와 6cm이고 작은 삼각형의 넓이가 20㎠라면 닮음비는 2:3, 넓이비는 4:9이다. 큰 삼각형의 넓이를 S라고 하면 20:S=4:9이므로 S=45㎠이다. 여기서 넓이비를 2:3으로 쓰는 것은 개념 오류이며, 20×3/2로 계산하는 것은 길이비를 넓이에 적용한 오류다.
태전동 학습 생활과 연결한 점검 방식
태전동에는 광주광남중학교와 태전중학교가 있으며, 같은 광주시의 경안중학교·경화여자중학교·곤지암중학교는 참고할 수 있는 학교로 구분해야 한다. 지역 내 학교와 광주시 내 참고 학교를 같은 학교군처럼 단정하지 않고, 학교별 시험 난도도 추측하지 않는다.
태전아이파크나 태전동성원아파트 등 생활권에서 통학하는 학생은 수행평가 자료를 챙기는 날과 시험 준비 기간의 공부 시간이 달라질 수 있다. 자료 제출 직전에는 도형 정리만 하다가 지필 연습이 끊기기 쉬우므로, 하루 학습을 ‘대응표 작성 15분-변형 문제 20분-말로 풀이 설명 5분’처럼 짧게 나눈다. 고등학교 진학을 앞두고 이동과 과제 부담이 늘어나는 상황에서도 한 문제의 첫 접근을 남기지 않는 방식이 목적이다.
독립 문제로 확인하는 마지막 검증
검증에서는 같은 그림을 다시 사용하지 않는다. 새 문제에서 △PQR∽△XYZ, PQ=10, XY=15, QR=14를 제시하고 대응변 RZ를 구하게 한다. 먼저 P-X, Q-Y, R-Z를 적은 뒤 10/15=14/RZ를 세워 RZ=21을 얻는지 확인한다.
이후 숫자뿐 아니라 조건도 바꾼다. 닮음 기호를 △PQR∽△XZY로 바꾸고, 구하는 변을 QZ로 지정한다. 학생이 Q-Y가 아니라 Q-Z로 대응을 바꾸어야 한다는 점을 찾아야 한다. 마지막으로 길이비가 3:5인 두 도형의 넓이비를 묻고 9:25라고 답하는지 확인한다. 시간 제한 안에서도 대응점, 대응변, 비의 종류를 차례로 기록하면 통과로 본다.
태전동중2수학과외에서의 지도 방향
수업에서는 답을 빨리 맞히는 것보다 첫 접근을 기록하게 한다. 학생이 적은 대응표와 비례식을 사진처럼 남겨, 다음 문제에서 조건이 바뀌었을 때 어느 줄이 달라지는지 비교한다. 답지와 다른 식을 썼더라도 대응관계가 정확하면 스스로 검산하게 하고, 반대로 정답이 나와도 대응변의 근거가 없으면 다시 설명하게 한다.
이 방식은 중1 공백을 전 범위로 되돌리지 않고 현재 중2 닮음 문제를 해결하는 데 필요한 부분만 보완한다. 태전동중2수학과외의 목표도 단순한 정답률보다, 학생이 새로운 도형과 바뀐 조건 앞에서 대응점을 먼저 정하고 풀이의 변화를 말할 수 있게 만드는 데 둔다.
자주 묻는 질문
- 닮음 기호가 없고 그림만 있으면 어떻게 하나요?
각의 크기나 평행선 등 문제에서 제시한 근거를 먼저 확인하고, 대응점이 확정되기 전에는 비례식을 세우지 않습니다. - 닮음비와 넓이비를 자꾸 혼동하면 어떻게 하나요?
비례식 옆에 길이인지 넓이인지 표시하고, 길이비가 a:b이면 넓이비는 a²:b²로 바꾸어 적습니다. - 수행평가와 시험 준비가 겹치면 무엇부터 하나요?
자료를 정리할 때 대응표와 변의 근거를 먼저 완성한 뒤, 조건을 바꾼 독립 문제 한 개로 적용 여부를 확인합니다.