탄벌동중1수학과외, 전개도에서 단위를 놓치면 숫자를 맞혀도 틀리는 이유
전개도 문제에서 길이 표에 40mm, 3cm, 2cm가 함께 적혀 있을 때 40, 3, 2를 그대로 계산하면 안 된다. 한 중1 학생이 직육면체 전개도를 보고 “면의 넓이를 모두 더하면 된다”고 생각했지만, 40mm를 4cm로 바꾸지 않아 서로 다른 단위의 넓이를 더하는 장면이 대표적이다. 전개도는 면의 배치만 보는 문제가 아니라, 각 면의 모양과 길이, 단위를 연결해 입체의 겉넓이를 재구성하는 문제다.
탄벌동에서 확인할 학습 장면
탄벌중학교 프린트와 학원 숙제의 순서가 달라지면 학생은 완료한 문제 수를 먼저 세기 쉽다. 특히 시험 전에는 전개도 문제를 별도 과제로 미루고, 지필 복습과 같은 개념을 사용한다는 점을 놓치기도 한다. 탄벌동 생활권에서 학교와 학원 이동 시간이 달라질 수 있는 만큼, 긴 풀이 한 문제에 시간을 모두 쓰기보다 시험 전에 어떤 문제를 먼저 처리할지 정하는 훈련이 필요하다.
같은 광주시의 경안중학교, 경화여자중학교, 곤지암중학교, 광수중학교는 비교를 위한 참고 학교일 뿐 탄벌동 소재 학교로 표현할 수 없다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 실제로 받은 학교 프린트의 전개도 조건과 풀이 과정을 기준으로 점검하는 것이 적절하다.
숫자부터 읽는 습관이 만드는 오류
예를 들어 직육면체 전개도에 가로 40mm, 세로 3cm, 높이 2cm가 제시되었다고 하자. 학생이 다음처럼 계산할 수 있다.
겉넓이 = 2×(40×3 + 3×2 + 40×2) = 2×286 = 572
이 식은 단위가 섞여 있어 수학적으로 완성되지 않았다. 40mm를 4cm로 통일하면 가로 4cm, 세로 3cm, 높이 2cm이므로 겉넓이는 2×(4×3+3×2+4×2)=2×26=52cm²이다. 학생은 숫자 40을 먼저 보고 큰 값이라고 판단했지만, 실제로는 4cm에 해당한다.
또 다른 오류는 전개도에 있는 모든 선분을 한 번씩 곱해 더하는 것이다. 전개도는 펼쳐진 그림이므로 같은 크기의 면이 여러 개 나타난다. 가로 4cm, 세로 3cm인 면은 두 개, 가로 3cm와 높이 2cm인 면도 두 개, 가로 4cm와 높이 2cm인 면도 두 개라는 관계를 확인해야 한다. 그림의 위치가 달라져도 면의 짝이 같으면 같은 넓이로 묶을 수 있다.
풀이 전에 종이에 남길 세 가지 표시
첫째, 표나 문제 문장에서 단위를 동그라미 친다. mm와 cm가 섞였으면 계산 전에 하나로 바꾼다. 길이를 cm로 통일했다면 넓이의 최종 단위는 cm²가 된다. 길이를 m로 통일했다면 m²로 적는다.
둘째, 전개도의 각 면에 번호를 붙인다. 마주 보는 면을 같은 기호로 표시하거나, 같은 크기의 직사각형을 묶어 2개씩 적는다. 숫자를 바로 대입하지 않고 ‘4×3인 면 2개’, ‘3×2인 면 2개’, ‘4×2인 면 2개’처럼 중간식을 남긴다.
셋째, 문제를 쉬움·보류·재확인으로 나눈다. 전개도의 접히는 방향이 헷갈리거나 조건이 많은 문제는 보류 표시를 하고, 면의 크기와 단위가 분명한 문항부터 해결한다. 한 문제에 머무를 시간을 미리 정하면 뒤쪽의 해결 가능한 문항을 읽지 못하는 상황을 줄일 수 있다.
학교 프린트를 이용한 재구성
학교 프린트를 모두 끝내지 못했다면 처음부터 순서대로 다시 풀기보다 전개도 문제만 골라 세 묶음으로 배열한다. 단위가 하나인 기본 문제, 단위가 섞인 문제, 전개도를 회전하거나 일부 조건을 추가한 문제로 나눈다. 각 문제 옆에는 ‘단위 통일’, ‘면 번호’, ‘중간식’, ‘최종 단위’ 네 칸을 만들고 풀이 뒤 직접 표시한다.
예를 들어 첫 문제에서 5cm, 2cm, 3cm가 주어졌다면 면의 짝을 표시한 뒤 겉넓이를 계산한다. 다음 문제에서는 50mm를 추가해 길이를 5cm로 바꾼다. 마지막에는 전개도의 방향을 돌려 놓거나 한 면의 길이를 표로 제시한다. 그림이 달라져도 단위 통일과 면의 짝 찾기를 먼저 하는지 확인해야 한다.
시간 제한 속에서 독립 적용되는지 확인하기
연습 때는 정답을 바로 알려주지 않고 문항 체류시간을 기록한다. 정해진 시간이 지나면 보류 표시를 하고 다음 문제로 이동하는지 본다. 뒤의 쉬운 전개도 문제를 먼저 해결한 뒤 보류 문제로 돌아왔을 때, 학생이 답지의 모양을 기억해 따라 쓰는지 아니면 단위를 다시 확인하고 면의 관계를 설명하는지 구분한다.
검증은 같은 문제를 즉시 반복하는 것으로 끝내지 않는다. 다음 세트를 40mm 대신 0.04m로 바꾸고, 4cm×3cm 면을 표의 두 번째 행으로 옮긴다. 전개도의 방향도 회전시키며 12분 안에 풀이하게 한다. 정답뿐 아니라 “0.04m를 4cm로 바꿨고, 각 직사각형의 넓이를 두 개씩 묶었다”고 계산 근거를 먼저 말하는지 기록한다.
다음 날에는 숫자를 바꾼 새 전개도를 백지에서 다시 풀고, 일주일 뒤에는 단위가 mm와 cm로 섞인 학교 프린트 변형문제를 제시한다. 이때 도움 없이 단위를 통일하고, 면 번호를 붙이고, 겉넓이의 단위를 cm² 또는 m²로 마무리한다면 전개도 문제를 그림의 외형이 아니라 조건과 단위의 관계로 처리하고 있다고 볼 수 있다.