초월읍중3수학과외, 복합도형 속 직각삼각형의 원리를 바꿔 적용하기
같은 답을 얻어도 풀이가 끝나지 않는 복합도형 문제
학생이 다음과 같이 적은 풀이를 가져왔다.
“큰 직사각형의 가로가 10, 세로가 8이므로 대각선은 18이다.”
그림 안에 직각삼각형이 보였지만, 두 변을 더해 대각선을 구한 것이다. 복합도형에서는 직각 표시가 직접 그려진 삼각형만 찾는 것이 아니라, 구하려는 선분과 이미 주어진 길이가 한 직각삼각형 안에서 어떻게 연결되는지 확인해야 한다. 초월읍중3수학과외에서는 답을 맞힌 뒤에도 숫자와 도형의 배치가 달라졌을 때 같은 원리를 다시 꺼내는지까지 살핀다.
큰 도형을 바로 계산하지 않고 직각삼각형을 잘라 읽기
예를 들어 직사각형 안에 대각선이 있고 가로 12, 세로 5가 주어졌다면 대각선은 직각삼각형의 빗변이다. 학생은 먼저 구하려는 선분을 표시하고, 그 선분의 양 끝점과 직각을 이루는 두 변을 찾아야 한다.
이때 적용할 식은 피타고라스 정리다.
12²+5²=x²
144+25=169이므로 x=13이다. 여기서 x=-13을 함께 적지 않는 이유도 확인해야 한다. x는 도형의 길이이므로 음수가 될 수 없다. 반대로 식 자체의 해를 묻는 문제가 아니라 도형의 선분 길이를 구하는 문제이므로 양의 값만 선택한다.
학생이 자주 하는 실수는 직사각형의 전체 가로와 세로를 무조건 대입하는 것이다. 복합도형에서 필요한 것은 전체 도형의 크기가 아니라, 해당 직각삼각형을 이루는 두 직각변의 길이다. 일부가 가려져 있다면 먼저 같은 길이의 평행선이나 직사각형의 성질을 이용해 그 부분을 찾아야 한다.
분할된 변의 길이를 한 번에 더하지 않기
다른 문제에서는 큰 직사각형의 가로가 15이고, 왼쪽에서 6만큼 떨어진 지점에 대각선이 시작되며 세로 높이가 8로 표시될 수 있다. 이때 대각선이 실제로 지나가는 직각삼각형의 가로변은 15가 아니라 15-6=9일 수 있다. 학생이 그림의 숫자를 모두 더해 17을 만들었다면, 계산보다 먼저 “내가 구하는 선분의 양 끝점 사이 가로 이동은 얼마인가?”라고 물어야 한다.
가로 9, 세로 8인 경우에는
9²+8²=x², 81+64=145
따라서 x=√145이다. 145는 12²과 13² 사이에 있으므로 x를 13이라고 바꾸면 안 된다. 제곱근이 정수로 떨어지지 않는다는 사실도 틀린 답이 아니라, 주어진 수치에서 나온 정확한 표현일 수 있다.
학생의 풀이를 바꾼 한 줄
처음에는 문제를 받자마자 숫자에 동그라미를 치고 피타고라스 정리를 썼다. 하지만 어느 숫자가 같은 직각삼각형에 속하는지 확인하지 않아, 서로 다른 부분의 길이를 한 식에 섞었다. 수정할 때는 풀이 첫 줄을 다음 세 단계로 고정했다.
- 구할 선분의 양 끝점을 표시한다.
- 그 선분과 직각 표시가 만드는 삼각형을 선으로 둘러싼다.
- 두 직각변의 길이를 각각 가로 이동과 세로 이동으로 적는다.
이 과정을 거친 뒤에야 a²+b²=c²를 사용한다. 빗변은 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변이라는 설명도 함께 말하게 했다. 단순히 공식을 기억하는지보다, 왜 c에 해당하는지를 그림에서 가리킬 수 있는지가 중요하다.
부호와 표현이 달라져도 길이 조건을 유지하기
문제의 식이 “x²=50”처럼 제시되면 대수식으로는 x=±5√2가 가능하지만, 복합도형의 선분 길이를 묻는다면 x=5√2만 남긴다. 학생이 계산 결과를 그대로 옮기지 않고, x가 길이를 나타내는지 좌표의 값을 나타내는지 확인하도록 했다.
또한 그림이 오른쪽으로 기울어진 모양에서 왼쪽으로 기울어진 모양으로 바뀌어도 직각삼각형의 방향은 본질이 아니다. 직각 표시와 세 변의 관계가 유지되는지가 기준이다. 숫자 옆의 부호나 선분의 위치가 달라졌다는 이유로 새로운 공식을 찾지 않는다.
초월읍 학습 일정에 맞춘 문제 기록
초월읍에서는 초월중학교의 실제 시험 범위와 수행평가 일정을 먼저 확인한 뒤, 평일 귀가 시간에 맞춰 짧은 문제 기록을 배치하는 방식이 현실적이다. 초월역과 초월물류단지가 있는 생활권의 이동 시간까지 고려하면 매일 많은 문항을 밀어 넣기보다, 학교 프린트의 복합도형 한 문항을 골라 그림 분할과 식을 다시 설명하게 하는 편이 효율적이다. 경안중학교·경화여자중학교·곤지암중학교·광수중학교는 같은 광주시의 참고 학교이며, 초월읍 소재 학교와 동일하게 단정하지 않고 일정 비교가 필요할 때만 참고한다.
평일에는 귀가 후 원문제를 다시 풀기보다, 틀린 위치를 그림에 표시하고 두 직각변을 적는 데 시간을 쓴다. 주말에는 숫자 하나를 바꾼 변형문제를 풀며 식이 달라지는 이유를 말하게 한다. 학교 시험이 가까울수록 풀이량보다 “어떤 삼각형을 선택했는가”를 확인하는 기록을 남긴다.
그림을 돌려도 첫 행동이 남아 있는지 확인하기
다음 검증에서는 직사각형 안의 대각선을 반대 방향으로 배치하고, 가로 7, 세로 24를 제시했다. 학생은 이전 문제의 13을 기억해 쓰지 않고, 대각선이 빗변임을 표시한 뒤 7²+24²=x²를 세웠다. 49+576=625이므로 x=25이다. 이어서 “직각의 맞은편 선분이라 빗변이고, 길이이므로 양의 값만 쓴다”고 설명했다.
마지막에는 한 부분이 분할된 도형을 제시해 전체 가로 20, 왼쪽 구간 12, 세로 9로 바꾸었다. 학생은 먼저 실제 가로변을 20-12=8로 계산하고 8²+9²=x²에서 x=√145를 얻었다. 그림이 회전되고 수치가 달라져도 첫 행동인 삼각형 표시, 직각변 확인, 길이 조건 판단이 그대로 나타났다면 답을 외운 것이 아니라 원리를 적용한 것으로 볼 수 있다.