오포읍중3수학과외, 복합도형 속 직각삼각형의 조건부터 읽는 연습
학생이 다음과 같은 복합도형 문제를 풀며 “직각 표시가 있으니 피타고라스 정리를 쓰면 되죠?”라고 말한 뒤, 그림에 보이는 가장 긴 선분을 무조건 빗변으로 정하고 계산을 시작하는 경우가 있다. 하지만 직각삼각형 문제에서 계산식보다 먼저 확인할 것은 어느 세 선분이 하나의 삼각형을 이루는지, 직각이 어느 꼭짓점에 있는지, 구하려는 선분이 그 삼각형의 변으로 포함되는지다. 여러 사각형과 삼각형이 겹친 그림에서는 이 조건을 놓치면 계산이 맞아도 다른 선분의 길이를 구하게 된다.
그림 전체가 아니라 직각삼각형 하나를 먼저 분리하기
예를 들어 직사각형 모양의 바깥 도형 안에 대각선이 그어지고, 한쪽에 작은 직각삼각형이 붙어 있다고 하자. 학생은 바깥 도형의 가로 12, 세로 5를 보고 곧바로 대각선을 √(12²+5²)=13으로 계산했다. 이 계산 자체는 가로와 세로가 같은 직사각형의 한 꼭짓점에서 만나는 두 변이고, 대각선이 그 직각삼각형의 빗변일 때만 타당하다.
그런데 문제에서 묻는 선분이 대각선 전체가 아니라, 대각선 위의 한 점에서 작은 삼각형의 꼭짓점까지 연결된 부분이라면 13은 최종 답이 아니다. 학생이 해야 할 첫 행동은 긴 선분에 표시된 점을 확인하고, “내가 구하려는 선분과 두 변이 실제로 같은 직각삼각형 안에 있는가?”라고 묻는 것이다. 그림의 외곽선이 모두 하나의 삼각형을 만든다고 가정하지 않고, 직각 표시와 선분의 끝점을 기준으로 필요한 삼각형만 골라야 한다.
빗변은 가장 긴 선분이 아니라 직각의 맞은편 변이다
학생의 오답 노트에는 종종 “빗변=그림에서 제일 긴 선”이라고 적혀 있다. 대부분의 직각삼각형에서 빗변이 가장 긴 것은 맞지만, 복합도형에서는 서로 다른 삼각형의 긴 변이 가까이 놓여 있어 잘못 선택하기 쉽다. 따라서 빗변은 길이로 추측하지 않고 직각의 맞은편에 있는 변으로 결정해야 한다.
직각이 점 P에 있고 삼각형의 세 꼭짓점이 P, Q, R이라면, 빗변은 QR이다. PQ와 PR이 직각을 이루는 두 직각변이다. 만약 PQ=9, PR=12라면 QR²=9²+12²=225이므로 QR=15이다. 여기서 제곱근을 취할 때 길이는 음수가 될 수 없으므로 QR=-15를 함께 적지 않는다. 반대로 QR=15와 PQ=9가 주어지고 PR을 구한다면 PR²=15²-9²=144, PR=12가 된다. 더 긴 변의 제곱에서 직각변의 제곱을 빼야 한다는 식의 의미까지 확인해야 한다.
학생이 틀린 지점은 계산 줄이 아니라 삼각형 선택이었다
한 문항에서 학생은 복합도형의 안쪽에 생긴 직각삼각형을 보고 다음과 같이 풀었다.
13²+5²=선분²
선분=√194
학생은 13과 5가 그림에 적혀 있으니 두 변을 더하면 된다고 생각했다. 그러나 두 선분은 같은 직각삼각형의 두 직각변이 아니었고, 13은 이미 다른 삼각형에서 계산된 대각선이었다. 먼저 직각이 있는 꼭짓점에 동그라미를 치고, 그 점에서 뻗은 두 선분을 확인했어야 했다. 그중 하나가 구하려는 삼각형에 포함되지 않는다면 해당 숫자를 그대로 대입할 수 없다.
수정할 때는 풀이 첫 줄에 숫자를 쓰지 않고 다음 세 가지를 적게 한다.
- 직각이 있는 꼭짓점에 표시하기
- 그 직각을 이루는 두 선분의 끝점을 연결해 삼각형 이름 쓰기
- 구하려는 선분이 빗변인지 직각변인지 정하기
예를 들어 직각이 A에 있고 AB=5, AC=12, 구하는 선분이 BC라면 “△ABC에서 ∠A=90°, BC는 빗변”이라고 먼저 쓴다. 그 뒤에 BC²=5²+12²를 세운다. 반면 BC=13, AB=5에서 AC를 구하는 상황이라면 “BC가 빗변”이라는 근거를 확인한 후 AC²=13²-5²를 사용한다. 같은 피타고라스 정리라도 구하는 변의 위치에 따라 덧셈과 뺄셈이 달라진다.
이미 구한 길이를 새 삼각형에 옮길 때 확인할 것
복합도형에서는 한 삼각형에서 얻은 길이가 다른 삼각형의 변으로 다시 사용되기도 한다. 이때 학생은 선분의 이름을 확인하지 않고 숫자만 옮겨 적는다. 예컨대 AB를 계산해 10을 얻었다면, 다음 삼각형에도 같은 선분 AB가 포함되어 있는지 확인해야 한다. 평행선 사이의 거리나 직사각형의 마주 보는 변처럼 길이가 같다는 조건이 주어진 경우에는 그 이유를 짧게 적고 옮긴다. 단지 그림에서 비슷해 보인다는 이유로 같은 길이라고 정하면 안 된다.
오포읍에서 중3 수학을 준비할 때도 학교별 프린트와 시험 일정에 따라 복합도형을 접하는 시점은 다를 수 있다. 오포읍 내 중학교로 확인된 매양중학교 자료와, 같은 광주시의 경안중학교·경화여자중학교·곤지암중학교·광수중학교 자료는 지역 전체의 성향을 단정하는 근거가 아니라 학습 자료를 살펴볼 때 참고할 범위로 구분해야 한다. 오포베르빌아파트나 오포우림퓨전빌아파트처럼 생활권이 달라지면 통학과 주간 일정도 달라질 수 있으므로, 수업에서는 학교 이름보다 학생이 실제로 풀고 있는 복합도형 문항의 조건과 풀이 순서를 먼저 점검한다.
숫자와 도형 배치를 바꾼 독립 검증
같은 그림을 다시 풀게 해 정답을 맞히는 것만으로는 부족하다. 다음에는 직각삼각형의 방향을 바꾸고, 구하는 대상을 직각변으로 바꾼다. 큰 직사각형의 가로가 15, 세로가 8이고 대각선 위에 작은 삼각형이 놓였다고 하자. 학생이 대각선 전체를 묻는다고 착각하지 않도록, 먼저 15와 8이 직각을 이루는 두 변인지 말하게 한다. 대각선 전체를 구하는 경우에는 15²+8²=289이므로 17이지만, 대각선의 일부를 구하는 경우에는 작은 삼각형에 주어진 다른 변과 직각 위치를 다시 확인해야 한다.
또 다른 문제에서 빗변이 25, 한 직각변이 7로 바뀌면 학생은 25²-7²=576에서 √576=24라고 설명해야 한다. 이때 “큰 수에서 작은 수를 뺐다”가 아니라 “빗변의 제곱에서 직각변의 제곱을 빼서 남은 직각변을 구했다”고 말하는지가 중요하다. 마지막으로 7, 24, 25가 실제로 7²+24²=25²를 만족하는지 역검산하고, 구한 24가 빗변 25보다 긴 값이 아닌지도 확인한다.
복합도형 풀이가 안정됐다는 기준은 공식을 외워 빠르게 계산하는 데 있지 않다. 새로운 그림에서 직각의 위치를 찾고, 하나의 삼각형을 분리하며, 선분의 역할을 정한 뒤 그 선택을 식으로 설명하는 것이다. 숫자와 방향이 달라져도 이 첫 행동이 유지되면 정답을 기억해서 푼 것이 아니라 직각삼각형의 조건을 적용한 것으로 볼 수 있다.