쌍령동중3수학과외, 경사와 각도 문제를 변형 조건에서도 적용하기
“경사면의 길이가 10m이고 높이가 6m이므로 sin 30°를 사용하면 돼요.” 쌍령동의 한 중3 학생은 이렇게 적은 뒤, 계산기에 값을 입력하려다 멈췄다. 그림에 표시된 각은 30°가 아니라 경사면과 지면이 이루는 각이었고, 구해야 하는 값도 높이가 아닌 경사면의 길이였다. 숫자와 공식은 기억하고 있었지만, 기준각과 변의 관계를 문제마다 다시 정하지 못한 것이다.
경사와 각도가 등장하는 삼각비 문제에서는 공식을 빠르게 떠올리는 것보다 그림의 조건을 읽고 필요한 비를 선택하는 과정이 먼저다. 같은 직각삼각형이라도 기준각이 달라지면 대변과 인접변의 위치가 바뀐다. 따라서 sin, cos, tan 중 무엇을 사용할지는 문제의 숫자보다 기준각과 구하는 변에 의해 결정된다.
경사면 그림에서 먼저 찾아야 할 세 가지
학생이 처음 푼 문제는 아래와 같았다.
지면과 30°를 이루는 경사로의 길이가 10m일 때, 경사로의 높이를 구하여라.
학생은 경사로를 빗변으로 표시한 것까지는 맞혔다. 그러나 높이와 경사로의 관계를 tan으로 적었다.
tan 30° = 10 ÷ h
이 식에서는 기준각에 대한 대변이 높이이고 빗변이 경사로이므로, 높이를 구할 때는 sin을 사용해야 한다.
sin 30° = h ÷ 10
1/2 = h ÷ 10
h = 5
수정 과정에서 학생에게 공식을 다시 외우게 하지 않고, 그림에 세 가지 표시를 하게 했다. 먼저 직각 표시를 찾아 빗변을 확정하고, 다음으로 기준각을 동그라미로 표시한 뒤, 구하는 변을 색칠한다. 마지막으로 기준각에 맞춰 대변·인접변·빗변을 이름 붙인다. 이 문제에서는 경사로가 빗변, 높이가 대변이므로 sin이 선택된다.
같은 경사라도 기준각이 바뀌면 비가 달라진다
다음 문제에서 학생은 앞 문제의 sin 30°를 그대로 사용하려 했다.
높이가 5m이고 경사면의 길이가 10m인 경사로에서, 경사면과 지면이 이루는 각을 구하여라.
이번에는 구하는 대상이 각도다. 높이는 지면과 이루는 각에 대한 대변이고 경사면은 빗변이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
sin θ = 5 ÷ 10 = 1/2
따라서 θ = 30°이다.
학생이 맞힌 이유는 답을 기억해서가 아니라, 이전 문제와 반대 방향으로 필요한 관계를 다시 확인했기 때문이다. 각도를 구하는 문제에서는 sin θ의 값을 구한 다음, 삼각비 표나 계산기의 역삼각비 기능을 이용한다. 단순히 “높이와 빗변이 있으니 sin”이라고 말하는 데 그치지 않고, “기준각의 대변이 높이이고 빗변이 경사면이기 때문”이라고 설명하도록 했다.
수평거리와 높이가 주어졌을 때 tan을 선택하는 장면
경사로의 길이가 제시되지 않고 수평거리와 높이가 주어지는 경우도 있다.
어떤 경사로는 수평으로 12m 이동하는 동안 높이가 5m 올라간다. 지면과 경사로가 이루는 각을 θ라 할 때 tan θ를 구하여라.
학생은 직각삼각형의 빗변을 먼저 계산하려고 했다. 그러나 각도 자체를 구하는 것이 아니라 tan θ를 구하는 문제이므로 빗변은 필요하지 않다. 기준각 θ에서 높이 5m는 대변, 수평거리 12m는 인접변이다.
tan θ = 5 ÷ 12
이처럼 구하는 값이 tan θ 자체라면 불필요하게 피타고라스 정리를 사용하지 않는다. 학생이 바꾼 행동은 간단했다. 문제에서 요구하는 값을 네모로 표시한 뒤, 그 값에 직접 필요한 두 변만 찾는 것이다. “각도가 있으니 빗변부터 찾는다”는 이전 습관을 버리고, 대변과 인접변의 비로 바로 연결했다.
쌍령동은 동성아파트와 센트럴푸르지오아파트 등이 확인되는 주거 생활권이다. 같은 동 안에서도 학교와 주거지의 거리, 이동 방법에 따라 귀가 후 실제로 문제를 풀 수 있는 시간이 달라질 수 있다. 그래서 경안중학교, 경화여자중학교, 곤지암중학교, 광수중학교, 광일중학교는 쌍령동 소재 학교가 아니라 같은 광주시 범위에서 참고하는 통학권 자료로 구분해 볼 필요가 있다. 학습에서는 학교명을 기준으로 진도를 일괄적으로 정하기보다, 학생이 어느 시간대에 집중할 수 있는지와 현재 삼각비 문제에서 어느 판단 단계가 끊기는지를 먼저 확인한다.
각도 표현이 달라져도 기준각을 다시 표시하기
문제의 그림을 회전하거나 각도의 위치를 바꾸면 학생은 같은 공식을 사용하지 못했다. 예를 들어 지면과 이루는 각이 아래쪽이 아니라 경사면 위쪽에 표시되면, 이전 그림에서 외웠던 “높이는 대변”이라는 말을 그대로 적용할 수 없다. 기준각을 먼저 표시하지 않으면 대변과 인접변을 거꾸로 정할 수 있다.
이때 학생은 다음 순서로 풀이를 적는다.
- 직각 표시가 있는 꼭짓점을 찾아 빗변을 정한다.
- 문제에서 말한 기준각 θ를 그림에 직접 표시한다.
- θ와 마주 보는 변을 대변, θ에 붙어 있으면서 빗변이 아닌 변을 인접변으로 정한다.
- 구하는 값에 맞춰 sin, cos, tan 중 하나를 선택한다.
- 계산 후 변의 길이와 각도의 크기가 조건에 맞는지 확인한다.
특히 경사면의 길이가 높이보다 짧게 계산되거나, 각도가 커졌는데 높이가 오히려 작아지는 결과가 나오면 식을 다시 살펴야 한다. 0°보다 크고 90°보다 작은 각에서 같은 빗변을 기준으로 각도가 커질수록 대변의 길이는 커진다. 이 관계를 이용하면 계산기 입력 실수도 어느 정도 걸러낼 수 있다.
새 숫자와 새 질문으로 독립 적용하기
마지막에는 앞에서 사용한 30°, 5m, 10m를 모두 바꾼 문제를 제시했다.
경사로의 수평거리가 9m이고 높이가 12m일 때, 지면과 경사로가 이루는 각을 θ라 하여 tan θ를 구하고, 경사로의 길이를 구하여라.
학생은 먼저 tan θ를 묻는 부분에 수평거리와 높이만 사용했다.
tan θ = 12 ÷ 9 = 4/3
그다음 경사로의 길이는 직각삼각형의 빗변이므로 9²+12²=15²를 이용하여 15m라고 구했다. 처음부터 빗변을 계산하지 않고, 질문이 요구하는 순서에 따라 필요한 관계를 분리한 점이 달라졌다. 이어서 sin θ=12/15=4/5임을 확인해 앞의 두 결과가 같은 삼각형 조건과 맞는지도 검산했다.
이 문제에서 확인한 것은 특정 답을 외웠는지가 아니다. 숫자, 구하는 대상, 풀이 순서가 바뀌어도 학생이 직각 표시와 기준각을 먼저 찾고, 대변·인접변·빗변을 다시 정한 뒤 삼각비를 선택하는지이다. 경사와 각도 문제의 학습 기준은 공식 개수보다 이 첫 판단을 도움 없이 재현하는 데 있다.