경안동중3수학과외, 복합도형 속 직각삼각형을 근거와 검산으로 풀기
복합도형 문제에서 학생이 적어 둔 답이 6cm였지만, 풀이에는 “직각삼각형이므로 계산한다”는 한 줄만 남아 있었다. 그림 안에 직각 표시가 실제로 어디에 있는지, 구하려는 변이 빗변인지 다른 변인지, 계산한 길이가 도형의 조건과 맞는지 확인하지 않은 상태였다. 이런 문제는 공식을 기억하는 것보다 복합도형을 직각삼각형으로 분리하고, 각 변의 역할을 근거 있게 설명하는 과정이 중요하다.
전체 도형을 한 번에 계산하지 않고 직각 표시부터 찾기
예를 들어 사다리꼴 모양의 도형 안에 대각선이 그어져 있고, 한 삼각형의 두 변이 5cm와 12cm로 주어졌다고 하자. 학생은 긴 변을 무조건 빗변으로 보고
12²-5²=119
라고 계산한 뒤 √119cm를 적었다. 그러나 빗변은 직각의 맞은편에 있는 변이어야 한다. 단순히 길이가 긴 변이라는 이유만으로 정할 수 없다. 그림에서 5cm와 12cm가 직각을 이루는 두 변이라면 구하는 대각선은 빗변이므로
x²=5²+12²=25+144=169
에서 x=13cm가 된다. 반대로 13cm가 직각의 맞은편에 이미 표시되어 있고 한 변이 5cm라면 다른 변은
x²=13²-5²=169-25=144
이므로 x=12cm이다.
학생이 먼저 해야 할 행동은 숫자를 식에 넣는 것이 아니다. 직각 표시를 찾아 두 변을 연결하고, 구하는 변이 직각의 맞은편인지 확인한 뒤, “두 직각변을 알고 빗변을 구하므로 더한다” 또는 “빗변과 한 직각변을 알고 나머지 직각변을 구하므로 뺀다”고 적는 것이다.
같은 복합도형에서도 기준 삼각형을 잘못 잡으면 답이 달라진다
복합도형에는 여러 선분이 교차하므로 한 그림 안에 삼각형이 두 개 이상 생길 수 있다. 학생이 자주 하는 실수는 한 삼각형의 변 길이를 다른 삼각형의 식에 그대로 넣는 것이다. 특히 공통으로 보이는 대각선이 실제로는 서로 다른 삼각형의 빗변일 수 있어, 어느 직각삼각형을 사용하는지 표시하지 않으면 풀이가 이어지지 않는다.
수업에서는 그림 위에 직각을 작은 표시로 다시 그리고, 사용할 삼각형의 세 꼭짓점을 순서대로 표시한다. 예를 들어 삼각형 ABC를 선택했다면 “∠B=90°이므로 AC가 빗변”이라고 먼저 말하게 한다. 그 다음 AB=9cm, BC=12cm일 때
AC²=9²+12²=81+144=225
이므로 AC=15cm라고 정리한다. 여기서 AC를 구한 뒤 다른 삼각형의 길이를 계산해야 한다면, 새 삼각형에서 직각이 어느 꼭짓점에 있는지 다시 확인해야 한다. 앞에서 구한 15cm를 자동으로 모든 식에 넣는 것이 아니라, 그 선분이 새 삼각형의 어느 변인지 확인하는 절차가 필요하다.
정답 뒤에 남겨야 하는 세 가지 검산
복합도형의 검산은 계산 결과만 다시 보는 방식으로 끝나지 않는다. 첫째, 제곱했을 때 원래 식이 성립하는지 확인한다. 9, 12, 15를 사용했다면 9²+12²=15²인지 대입한다. 둘째, 변의 위치와 길이 관계를 확인한다. 직각삼각형에서 빗변은 두 직각변보다 길어야 하므로 8cm와 15cm로 만든 빗변을 10cm라고 쓸 수 없다. 셋째, 도형 전체의 조건과 맞는지 살핀다. 바깥 도형의 높이가 7cm인데 내부 직각삼각형에서 같은 방향의 선분을 9cm로 계산했다면, 어느 선분을 사용했는지 다시 그림과 대조해야 한다.
학생에게는 답 아래에 다음 네 줄을 쓰게 한다.
- 사용한 직각삼각형: 삼각형 ABC
- 직각의 위치: ∠B=90°
- 계산 근거: AC²=AB²+BC²
- 검산: AB²+BC²=AC², AC가 가장 긴 변
이 기록은 풀이를 길게 만들기 위한 것이 아니다. 어느 선분을 선택했는지와 왜 덧셈 또는 뺄셈을 했는지를 남겨, 그림이 바뀌어도 같은 판단을 꺼내기 위한 장치다.
경안동 통학 일정 속에서 풀이 과정을 짧게 고정하기
경안동에서는 지역 내 중학교로 광주중학교가 확인되며, 경안중학교·경화여자중학교·곤지암중학교·광수중학교는 같은 광주시 내 통학권 참고 학교로 구분된다. 이편한세상광주역아파트 등이 포함된 생활권에서 학교와 학원 이동 시간이 일정하지 않을 수 있어, 긴 풀이를 여러 문제에 반복하기보다 한 문항에서 근거와 검산을 정확히 남기는 방식이 현실적이다. 고등학교는 경안동 소재로 확인된 학교가 아니라 같은 광주시 내 통학권 참고 자료로 보아야 하므로, 학습 계획도 특정 학교의 출제경향을 단정하기보다 이동 후에도 유지할 수 있는 풀이 기록에 맞춘다.
수업에서는 학교 프린트의 복합도형 한 문항을 펼쳐 놓고 학생이 처음 표시하는 위치를 관찰한다. 직각을 찾기 전에 숫자부터 동그라미 치면, 계산을 멈추고 세 꼭짓점을 연결해 사용할 삼각형을 다시 지정한다. 이미 길이를 구한 뒤에는 반드시 원래 그림으로 돌아가 그 선분이 실제로 어느 위치에 놓이는지 확인한다.
숫자와 도형 배치를 바꾼 뒤에도 같은 판단을 하는가
다음 문제에서는 앞의 9cm, 12cm를 사용하지 않고, 복합도형 안의 직각삼각형에서 두 직각변을 7cm와 24cm로 바꾼다. 구하는 선분을 y라 하면 학생은 도움 없이
y²=7²+24²=49+576=625
에서 y=25cm라고 구해야 한다. 이후 그림을 회전해 직각 표시가 왼쪽 아래가 아니라 오른쪽 위에 놓여도, 직각의 맞은편 선분을 빗변으로 정할 수 있어야 한다. 이번에는 계산 결과 25cm가 두 직각변보다 큰지 확인하고, 7²+24²=25²로 역검산한다.
숫자를 기억해 답하는 학생은 13cm를 반복해서 쓰지만, 개념을 적용한 학생은 새로운 수와 새로운 배치에서 먼저 직각을 표시하고, 사용할 삼각형을 고른 다음 식의 부호를 결정한다. 복합도형 속 직각삼각형 학습은 이 첫 행동과 풀이 근거가 혼자서 다시 나타나는지를 기준으로 점검한다.