경안동중1수학과외, 컴퍼스를 대기 전에 작도 순서를 말로 설명하는 연습
“선분 AB의 수직이등분선을 작도하시오.”라는 문제를 보자마자 컴퍼스를 선분 위에 대는 학생이 있다. 점 A와 B에서 같은 반지름의 원호를 그려야 하는데, 한쪽 원호의 크기를 바꾸거나 두 원호가 만나지 않는 위치에 그려서 다음 단계로 넘어가지 못한다. 이때 필요한 것은 작도 도구를 익숙하게 사용하는 속도보다, 문제의 요구를 읽고 첫 행동부터 순서대로 예측하는 힘이다.
경안동의 중학교 수학 학습에서는 광주중학교의 학교 수업과 프린트가 현재 학습의 기준이 된다. 경안중학교, 경화여자중학교, 곤지암중학교, 광수중학교는 같은 광주시 안의 참고 학교이지 경안동 소재 학교로 단정할 수 없다. 경안동에서 통학과 과제 시간이 함께 늘어나는 시기에는 작도처럼 수업에서 과정을 기록해야 하는 단원을 미루지 않고, 짧은 시간에도 순서를 말하고 실행하는 방식으로 정리할 필요가 있다.
숫자 계산으로 시작하는 습관이 작도에서 만드는 오류
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 문제에 선분의 길이 6cm와 각의 크기 60°가 함께 제시되었을 때 먼저 숫자를 계산하려고 한다. 그러나 작도 문제의 핵심은 주어진 수치를 계산하는 것이 아니라 어떤 조건을 만족하는 선과 점을 정해진 도구로 만드는 데 있다. 학생은 문제의 마지막 문장에 있는 ‘수직이등분선을 작도하시오’를 확인하지 않은 채 자를 꺼내 길이를 재고, 그은 선이 선분을 정확히 반으로 나누는지 확인하지 않는다.
다음 날 오답을 다시 펼쳐도 “컴퍼스 실수”라고만 적는다. 실제로는 도구 사용의 실수 이전에 요구사항을 끝까지 읽지 않은 것이 첫 원인이다. 작도에서는 같은 결과처럼 보이는 그림이라도 과정의 조건이 빠지면 풀이를 설명할 수 없다. 특히 수행평가에서는 완성된 그림만이 아니라 원호를 어떤 순서로 사용했는지, 교점과 기준점을 어떻게 정했는지가 중요해진다.
작도 전에 입으로 먼저 만드는 절차
수직이등분선 작도는 다음과 같이 말로 예측한 뒤 시작한다.
- 구할 것은 선분 AB에 수직이고 AB를 이등분하는 직선이라고 읽는다.
- 컴퍼스의 중심을 A에 두고, 선분 길이의 절반보다 큰 같은 반지름으로 위아래 원호를 그린다.
- 컴퍼스의 반지름을 바꾸지 않고 중심을 B로 옮겨 같은 반지름의 원호를 그린다.
- 두 원호의 교점을 위쪽 P, 아래쪽 Q로 표시한다.
- 자와 연필로 P와 Q를 연결하고, 이 직선이 AB와 만나는 점을 확인한다.
여기서 ‘반지름을 유지한다’는 말을 실제 행동으로 바꾸어야 한다. A에서 원호를 그린 뒤 컴퍼스를 접거나 눈금에 다시 맞추지 않고 B로 이동한다. 두 원호가 만나지 않으면 반지름이 너무 작았던 것이므로, 선분 AB의 절반보다 큰 길이로 다시 정한다. P와 Q가 한쪽에만 생기면 두 원호가 충분히 교차하지 않은 것이므로 원호의 방향과 반지름을 점검한다.
학생은 문제 옆에 ‘요구: 수직+이등분’, ‘고정: 반지름’, ‘마지막: 교점 연결’이라는 세 칸을 만든다. 그림에 A와 B를 표시하고, 원호의 교점에는 P와 Q를 적는다. 이 표시는 단순히 예쁘게 그리기 위한 것이 아니라 지금 하는 행동이 문제의 어느 조건을 충족하는지 확인하는 장치다.
작도의 근거까지 연결하기
완성한 뒤에는 “왜 이 선이 수직이등분선인가?”를 말해야 한다. AP와 BP는 같은 컴퍼스 반지름으로 그렸으므로 AP=BP이다. 같은 방식으로 AQ=BQ이다. 따라서 P와 Q는 A와 B에서 같은 거리에 있는 점이고, 두 점을 이은 직선은 선분 AB의 수직이등분선이 된다. 또한 이 직선과 AB의 교점은 A와 B에서 같은 거리에 있으므로 AB를 이등분한다.
학생이 “원호를 그렸으니 맞다”고만 말한다면 근거가 아직 완성되지 않은 것이다. 원호의 교점, 같은 반지름, 두 교점의 연결이라는 세 요소를 각각 설명하게 한다. 초등학교에서 도형을 보고 따라 그리던 방식에서 벗어나, 중1에서는 작도 결과와 작도 이유를 함께 표현해야 한다. 다만 관련된 선수개념이 부족하다고 해서 초등 도형 전 단원을 다시 시작하지 않는다. 선분의 중점과 수직의 뜻을 현재 작도 문제에 필요한 만큼만 짧게 확인하고 곧바로 다시 작도한다.
순서를 바꾼 문제에서 독립적으로 확인하기
같은 선분 AB를 그대로 다시 그려 맞히는 것으로는 순서를 익혔다고 보기 어렵다. 먼저 선분을 8cm로 바꾸고, 원호의 교점이 아래쪽에 먼저 보이도록 종이를 회전시킨다. 학생에게 답을 알려주지 않은 채 “이 문제에서 첫 행동은 무엇인가?”를 묻는다. 학생이 숫자 8을 계산하려 하지 않고 ‘수직이등분선을 만드는 문제’라고 요구사항을 말한 뒤, A와 B에서 같은 반지름을 정할 수 있는지 확인하면 첫 단계가 독립적으로 적용된 것이다.
다음에는 선분 CD의 수직이등분선과 각의 이등분선을 섞어 제시한다. 학생은 도형 모양이 비슷하다는 이유로 같은 순서를 복사하지 않고, 수직이등분선은 양 끝점에서 같은 반지름의 원호를 사용하고 각의 이등분선은 각의 두 변과 만나는 점을 먼저 만드는 과정임을 구분해야 한다. 컴퍼스를 사용하는 횟수와 교점의 의미를 말하게 하면 그림이 회전되거나 조건이 추가되어도 절차를 다시 세울 수 있다.
검증은 세 단계로 진행한다. 당일에는 순서를 말하지 않고 작도할 수 있는지 5분 안에 확인하고, 다음 날에는 원호 일부가 지워진 그림에서 필요한 점을 추론하게 한다. 일주일 뒤에는 완성 그림 없이 “A, B에서 같은 반지름의 원호를 그린 이유”를 서술하게 한다. 수행평가와 지필평가에서 공통으로 요구되는 개념을 연결해 설명하고, 답안 마지막에는 ‘요구 확인-반지름 유지-교점 연결-근거 작성’ 네 칸을 체크한다. 이 과정을 거치면 컴퍼스를 빠르게 움직이는 데서 그치지 않고, 문제를 읽은 뒤 첫 행동을 스스로 결정하는 작도 풀이로 전환할 수 있다.