강서구중3수학과외, 동류근호 계산에서 풀이 근거와 검산을 놓치지 않는 방법
강서구중3수학과외에서 확인한 동류근호의 한 줄짜리 오답
학생이 다음 식을 보고 답을 빠르게 적었다.
√12+√27=√39
숫자를 더했다는 점에서는 자연스러워 보이지만, 이 계산은 근호 안의 수를 그대로 합칠 수 있는 경우가 아니다. √12와 √27은 먼저 제곱인수를 분리해야 하며, 그 결과 같은 근호를 가진 항끼리만 더할 수 있다.
√12=2√3, √27=3√3이므로
√12+√27=2√3+3√3=5√3
이때 답만 5√3으로 고치는 것보다 중요한 부분은 중간의 두 변환을 말로 설명하는 것이다. 12는 4×3, 27은 9×3으로 나누어 각각 √4와 √9를 근호 밖으로 꺼냈고, 이후 √3이라는 공통 부분이 생겼기 때문에 계수 2와 3을 더했다는 흐름이다.
근호 안의 수가 같은지부터 확인해야 하는 이유
동류근호는 근호 안의 수가 같은 항이다. 따라서 4√5와 -√5는 동류근호지만, 4√5와 4√2는 계수가 같아 보여도 동류근호가 아니다. 학생이 자주 하는 실수는 계수와 근호 안의 수를 한꺼번에 더하거나, 근호 안의 수가 달라도 앞의 숫자만 계산하는 것이다.
예를 들어
3√2+5√2=8√2
는 같은 √2가 반복되므로 계산할 수 있다. 반면
3√2+5√3
는 더 간단한 하나의 동류근호로 합칠 수 없다. 이 식을 8√5처럼 바꾸면 근거 없는 계산이 된다. 풀이할 때는 각 항에서 계수와 근호 부분을 따로 표시하고, 근호 부분이 같은지 먼저 확인하도록 한다.
간단히 보이는 식일수록 제곱인수 분해를 생략하지 않기
다음과 같은 문제에서는 학생이 √18을 그대로 둔 채 계산을 시작하기 쉽다.
2√18-√8
하지만 두 근호를 비교하려면 먼저 각각을 가장 간단한 형태로 바꾸어야 한다.
2√18=2×3√2=6√2
√8=2√2
따라서
2√18-√8=6√2-2√2=4√2
여기서 첫 번째 2는 원래 식의 계수이고, √18에서 나온 3을 다시 곱해야 한다. 2√18을 5√2처럼 처리하는 오답은 제곱인수 9의 제곱근을 잘못 다룬 결과다. 수정 행동은 근호 안을 4, 9, 16처럼 가장 큰 제곱수와 나머지 수의 곱으로 표시한 뒤 계산하는 것이다.
곱셈과 덧셈을 같은 방식으로 처리하지 않기
동류근호 조건은 덧셈과 뺄셈에서 필요하다. 곱셈에서는 근호 안을 곱한 다음 정리할 수 있다.
√6×√24=√144=12
또는 √24=2√6으로 바꾸어 √6×2√6=2×6=12라고 확인할 수도 있다. 반면 덧셈인 √6+√24에서는
√6+√24=√6+2√6=3√6
이 된다. 학생이 덧셈에서도 근호 안의 수를 곱하거나, 곱셈에서도 계수만 더하는 경우에는 연산 기호를 먼저 동그라미 치게 한다. 같은 근호인지 판단하기 전에 연산의 종류를 구별해야 풀이 근거가 흔들리지 않는다.
답을 낸 뒤 원래 식으로 되돌아가는 검산
동류근호 계산의 검산은 정답을 다시 바라보는 것이 아니라, 변환한 식을 전개해 원래 식으로 돌아가는 방식으로 진행한다. 예를 들어
√50-√8=5√2-2√2=3√2
라고 했다면, 5√2가 √50인지 확인한다. 5√2=√25×√2=√50이고, 2√2=√8이므로 3√2라는 결과가 처음 식과 연결된다. 또는 양변을 제곱해 수치의 크기를 비교할 수 있지만, 차가 있는 식에서는 제곱만으로 항별 변환을 확인하기 어려우므로 각 근호를 원래 형태로 되돌리는 검산이 더 적절하다.
음수가 포함된 경우에는 부호도 함께 확인한다.
-√12+2√27=-2√3+6√3=4√3
√12를 2√3으로 바꾼 뒤 앞의 음수를 반드시 계수 전체에 붙여야 한다. -√12를 -2√3이 아닌 2√3으로 적으면 마지막 답의 부호가 달라진다. 학생은 각 줄에서 근호의 변환, 계수 계산, 부호를 차례로 표시하고 다음 줄로 넘어간다.
새 숫자에서도 첫 행동이 유지되는지 확인하기
학교별 내신 운영과 주간 일정은 다를 수 있다. 강서구에서도 경서중학교, 공항중학교, 덕원중학교, 등명중학교, 등원중학교, 등촌중학교처럼 대표 학교가 여러 생활권에 분포하지만, 이를 모든 학생에게 같은 통학권이나 같은 학습 조건으로 일반화할 수는 없다. 가양동·내발산동·등촌동·마곡동·방화동·염창동 등 학생의 이동 시간과 학교 프린트 일정에 맞춰 확인 문제의 양과 시점을 조정해야 한다.
독립 검증에서는 앞서 본 √12와 √27을 그대로 다시 주지 않고 다음 식을 제시한다.
√75+√12-√27
학생이 바로 계수를 계산하지 않고 먼저 √75=5√3, √12=2√3, √27=3√3으로 바꾸면
5√3+2√3-3√3=4√3
을 얻는다. 여기서 확인할 것은 답을 기억했는지가 아니다. 제곱인수를 찾고, 같은 근호끼리 묶고, 부호를 유지한 뒤 원래 식과 연결해 검산하는 첫 행동을 도움 없이 꺼냈는지다. 이 과정이 숫자와 연산 순서가 바뀐 문제에서도 이어질 때 동류근호 계산이 실제 풀이 능력으로 자리 잡았다고 판단할 수 있다.