강서구중1수학과외, 소인수분해를 맞혀도 풀이 시간이 길어지는 이유
중1 소인수분해에서 답은 맞았는데 풀이 시간이 유난히 긴 학생이 있다. 예를 들어 360을 소인수분해하라는 문제에서 학생이 360÷2=180, 180÷2=90, 90÷2=45, 45÷3=15, 15÷3=5, 5÷5=1을 차례로 적어 답을 23×32×5로 정확히 구했다고 하자. 계산 결과에는 문제가 없지만 매번 나눗셈을 오래 확인하고, 마지막 지수 표현에서도 다시 처음부터 세어 시험 시간이 부족해질 수 있다.
강서구에는 경서중학교, 공항중학교, 덕원중학교, 등명중학교, 등원중학교, 등촌중학교 등이 있으며 학생마다 학교 일정과 학원 수업, 수행평가 주간이 다르다. 따라서 특정 학교의 시험 경향을 일반화하기보다, 소인수분해를 푸는 데 걸리는 시간과 오답 확인 방식을 실제 풀이에서 점검하는 편이 적절하다.
답은 맞는데 시간이 길어지는 풀이 장면
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학생은 252를 소인수분해할 때 작은 소수부터 나누는 규칙은 알고 있다. 그러나 252÷2=126, 126÷2=63까지 진행한 뒤 63을 3으로 나누기 전에 다시 2로 나누어지는지 확인한다. 이후 63÷3=21, 21÷3=7, 7÷7=1을 적고도 2를 두 번, 3을 두 번 사용했는지 손가락으로 다시 센다.
이때 학생이 시험 후 오답 원인에 ‘실수’라고만 적으면 다음 문제에서도 같은 시간이 반복된다. 실제로 확인해야 할 것은 결과가 맞았는지가 아니라 어느 줄에서 판단이 멈췄는지다. 위 풀이에서는 63에서 더 이상 2로 나누어지지 않는다는 판단을 오래 확인한 지점이 시간 지연의 원인이다. 소인수분해에서는 합성수를 소수의 곱으로 계속 분해하되, 현재 수가 어떤 소수로 나누어지는지 근거를 짧게 남기는 습관이 필요하다.
새 문제를 풀기 전, 오답의 정확한 줄 찾기
시간이 부족한 날에는 새로운 문제를 여러 개 추가하지 않고, 이미 맞힌 문제의 풀이 근거만 확인한다. 먼저 각 줄의 나눗셈 결과 옆에 사용한 소수를 작게 표시한다. 360의 경우 다음처럼 정리할 수 있다.
360÷2=180 → 2
180÷2=90 → 2
90÷2=45 → 2
45÷3=15 → 3
15÷3=5 → 3
5÷5=1 → 5
그다음 아래 두 가지를 분리해서 확인한다.
- 각 나눗셈의 결과가 실제로 맞는가
- 끝까지 분해한 뒤 사용한 소수를 지수로 정확히 묶었는가
이 과정을 통해 ‘계산 실수’라는 넓은 표현 대신 ‘90에서 2를 한 번 더 사용했는지 확인하는 데 시간이 걸림’, ‘45를 3으로 나눈 뒤 15의 분해를 바로 이어 가지 못함’처럼 오류 원인을 한 줄로 지목한다. 맞힌 문제라도 이런 지점이 기록되어야 다음 풀이에서 수정할 수 있다.
소인수분해를 빠르게 하되 생략하지 않는 방법
학생이 직접 할 행동은 풀이를 무작정 줄이는 것이 아니다. 먼저 나누는 소수의 순서를 고정한다. 일반적으로 2, 3, 5, 7처럼 작은 소수부터 확인하고, 나누어떨어지는 동안 같은 소수로 계속 나눈다. 180이라면 180÷2=90, 90÷2=45까지 진행한 뒤 45에서는 2를 중단하고 3으로 넘어간다.
또한 세로 나눗셈표의 왼쪽에는 사용한 소수를, 오른쪽에는 몫을 적는다. 마지막 몫이 1이 되었을 때 왼쪽 소수만 다시 읽어 2×2×2×3×3×5로 확인한 뒤 23×32×5로 묶는다. 머릿속으로 횟수를 세지 않고 표시를 남기면 같은 부분을 반복해서 검사하는 시간이 줄어든다.
소수인지 판단하는 마지막 단계도 생략하지 않는다. 예를 들어 42를 2로 나누어 21을 얻은 뒤 21을 3으로 나누어 7을 얻었으면, 7은 소수이므로 더 나누지 않는다. 7을 다시 여러 수로 나눌 수 있는지 고민하는 것은 필요한 검산이 아니라 불필요한 지연이다. 다만 1은 소수가 아니므로 마지막 몫이 1이 되는 지점까지 분해를 끝내야 한다.
다음 날과 변형 문제에서 독립 적용 확인
다음 날에는 같은 360을 그대로 다시 풀지 않는다. 숫자를 바꾸어 420과 198을 제시하고, 풀이 시간과 근거 표시를 함께 확인한다. 420은 22×3×5×7, 198은 2×32×11이다. 학생이 작은 소수 순서를 유지하면서도 5에서 바로 7로 넘어가고, 198의 11까지 멈추지 않고 처리하는지 본다.
또 다른 검증으로 “소인수분해한 결과를 곱해 원래 수가 되는지 확인하라”는 조건을 추가한다. 198의 경우 2×3×3×11=198인지 역산한다. 이때 답만 맞히는 것이 아니라 어느 줄의 계산과 지수 묶음이 원래 수를 만드는지 설명하게 한다. 숫자가 바뀌어도 소수 표시, 몫 기록, 마지막 곱셈 검산을 도움 없이 수행하면 시간 지연의 원인이었던 반복 확인을 줄였다고 볼 수 있다.
수행평가나 다른 일정으로 지필 복습이 끊긴 뒤에도 일주일 후 252와 360이 아닌 새로운 수를 다시 제시한다. 학생이 틀린 이유를 ‘실수’라고 쓰지 않고 “45에서 3으로 나누는 줄을 확인하지 않아 풀이가 멈춤”처럼 정확한 줄을 지목한다면 해당 오답관리 항목은 종료할 수 있다. 강서구중1수학과외에서 소인수분해를 다룰 때도 선행 진도보다 이처럼 정확한 분해 과정과 독립 검증이 우선되어야 한다.