화곡동중2수학과외, 수형도 가지를 끝까지 세는 경우의 수 훈련
경우의 수 문제에서 답이 12가 되어야 하는데 0.12나 8처럼 어색한 수가 나오는 학생이 있다. 계산기를 잘못 누른 것이 아니라, 수형도의 가지를 중간에 줄이고 각 단계의 선택 수를 곱해야 하는 이유를 말로 확인하지 않은 경우가 많다. 특히 주말에 밀린 문제를 한꺼번에 정리할 때에는 곱셈 상황과 지수법칙을 적용하는 상황을 섞어 계산하기 쉽다.
이 글에서 다루는 중심은 중2 경우의 수에서 수형도를 이용해 전체 경우를 빠짐없이 세는 방법이다. 지수법칙이나 다항식은 별도 단원으로 넓히지 않고, 경우의 수를 계산하는 과정에서 생기는 혼동을 바로잡는 데 필요한 만큼만 연결한다.
화곡동에서 확인하는 학습 환경
화곡동에는 화원중학교가 있으며, 같은 강서구의 경서중학교·공항중학교·덕원중학교·등명중학교는 참고할 수 있는 학교로 구분해야 한다. 이 학교들이 화곡동 소재 학교라는 뜻은 아니다. 화곡대림아파트와 화곡보람아파트 등 생활권에서 통학하는 학생도 주간 일정이 같지는 않다. 수행평가가 몰린 주에는 주말 누적복습만으로 학교 미완료 문제와 경우의 수 오답을 동시에 처리하기 어려워지므로, 학생별 학교 프린트와 풀이 시간을 따로 확인한다.
가지 하나를 생략할 때 답이 흔들리는 장면
예를 들어 첫 번째 선택에서 음료 3가지, 두 번째 선택에서 간식 2가지를 고르는 문제를 생각해 보자. 수형도를 그리면 음료 하나마다 간식 2개의 가지가 생기므로 전체 경우는 3×2=6가지다. 그런데 학생은 음료 1개의 가지에서 간식 하나만 적고 나머지를 생략한 뒤, 3+2=5라고 답한다.
더 복잡한 문제에서는 첫 단계에 2가지, 다음 단계에 3가지, 마지막 단계에 2가지가 있을 때 2×3×2=12가 된다. 학생은 중간 가지를 모두 쓰지 않고 “2의 세제곱”처럼 처리해 8이라고 적거나, 분수 형태가 나오면 12를 0.12로 바꾸기도 한다. 수형도의 가지 수를 곱하는 것은 지수를 합치는 규칙이 아니라, 각 선택이 이어질 때 가능한 경로가 늘어나는 구조를 세는 일이다.
앞 단계의 한 선택마다 뒤 단계의 선택이 모두 연결되므로, 전체 경로 수는 각 단계의 선택 수를 곱한다.
오답을 계산 실수로 묶지 않는 이유
- 가지 누락: 첫 번째 선택 하나에 연결되는 두 번째 선택을 하나만 기록한다.
- 곱셈·덧셈 구분 오류: 여러 단계가 연속되는 상황에서 선택 수를 더한다.
- 수형도 해석 오류: 이미 같은 경로를 다른 순서로 다시 세어 중복한다.
- 지수법칙 혼동: 곱셈 기호가 없는 덧셈이나 선택 나열에 지수를 임의로 적용한다.
- 소수 변환 오류: 분수나 곱셈 결과를 확인하지 않고 소수점을 옮긴다.
학생은 맞힌 문제도 풀이 시간을 재는 순간 “여기서는 지수를 합치면 되죠?”라고 묻는다. 반대로 틀린 문제를 질문할 때에는 어느 가지에서 막혔는지 말하지 않고 “모르겠어요”라고 한다. 이때 처음부터 경우의 수 전 범위를 다시 시작하지 않는다. 선택 단계가 무엇인지, 각 단계의 선택 수가 몇 개인지만 짧게 확인하고 바로 현재 프린트의 문제로 돌아간다.
수형도를 계산 도구가 아니라 설명 도구로 바꾸기
첫 단계의 선택을 왼쪽에 세로로 적고, 각 선택에서 다음 단계로 뻗는 가지 수를 동일한 간격으로 표시한다. 가지를 생략해야 할 때에는 “각 첫 선택마다 두 번째 선택 2개가 붙는다”라고 문장으로 먼저 말하게 한다. 그 뒤 3×2를 쓰며, 덧셈이 아닌 곱셈인 까닭을 옆에 적는다.
계산 전에는 다음 세 가지를 표시한다.
- 선택 단계의 순서: 첫째, 둘째, 셋째로 번호를 붙인다.
- 각 단계의 선택 수: 2, 3, 2처럼 따로 적는다.
- 중복·누락 여부: 같은 경로가 다시 나오거나 빈 가지가 없는지 표시한다.
지수 표현이 등장하는 문제라면 곱셈 상황인지 먼저 분류한다. 예를 들어 같은 수의 곱을 간단히 나타내는 문제와 선택 수를 세는 문제는 서로 다른 이유로 계산한다. 경우의 수에서 2×3×2를 2³으로 바꾸려면 세 인수가 모두 2여야 하므로 바꿀 수 없다. 또한 선택을 나열하는 과정에서 더하기 기호가 보인다고 지수를 합치지 않는다.
소수 계산이 포함되면 먼저 분수나 자연수 곱셈으로 결과를 확인한 후 소수로 바꾼다. 3×2=6을 0.6이나 0.06으로 쓰지 않도록, 소수점 이동을 하기 전에 분자와 분모를 다시 표시한다. 틀린 경우에는 전체 풀이를 베끼지 않고, 가지를 빠뜨린 줄이나 소수점을 옮긴 줄만 가리고 다시 수행한다.
한 학생의 주간 훈련 기록
수행평가와 학교 과제가 겹친 화곡동의 한 중2 학생은 토요일에 프린트 세 장을 몰아서 풀었다. 문제의 조건은 “티셔츠 3벌 중 하나와 모자 2개 중 하나를 고른다”였지만, 학생은 수형도를 두 줄만 그리고 답을 5라고 적었다. 틀린 이유를 묻자 “계산하다가 헷갈렸어요”라고만 했다.
먼저 티셔츠를 T1, T2, T3으로 적고 각 줄에 모자 2개를 연결했다. 학생은 T1에서 M1, M2를 적은 뒤 T2와 T3에도 같은 수의 가지가 붙는다고 설명했다. 이후 3×2=6을 작성하고, 실제 목록 T1M1·T1M2·T2M1·T2M2·T3M1·T3M2와 대조했다.
다음 문제에서는 선택 단계가 2, 3, 2로 바뀌고 보기의 숫자 표현도 달랐다. 학생은 수형도 전체를 그리지 않고도 각 단계의 수를 2×3×2로 기록했으며, “첫 단계의 각각에 두 번째 선택 3개가 붙고, 그 각각에 마지막 선택 2개가 붙는다”고 설명했다. 처음의 8이라는 답을 고친 것이 아니라, 새로운 조건에서 원리를 다시 사용한 점을 확인했다.
독립 검증은 숫자와 표현을 바꾸어 진행한다
같은 문제를 다시 맞히는 것으로 학습을 끝내지 않는다. 먼저 선택 수를 3×2에서 4×3으로 바꿔 12가지가 되는지 확인한다. 이어서 “빨간 공을 고른 뒤에는 파란 공을 고를 수 없다”처럼 조건을 추가해 모든 가지를 그대로 곱할 수 없는 상황도 제시한다. 이때 학생이 조건을 표시하고, 제한된 가지 수를 다시 세는지 본다.
또 다른 검증에서는 수형도 대신 표를 사용한다. 첫 단계 3가지와 둘째 단계 2가지를 행과 열로 배치해 칸이 6개인지 확인하게 한다. 시간 제한을 4분으로 두고, 답뿐 아니라 선택 단계와 곱셈식을 함께 적게 한다. 마지막에는 2×3×2를 2³로 잘못 바꾸지 않는지, 분수를 소수로 옮길 때 소수점을 임의로 이동하지 않는지 확인한다.
화곡동중2수학과외에서 기록하는 기준
수업에서는 맞힌 개수보다 가지를 세는 설명의 정확성을 기록한다. 학생이 “곱하면 돼요”라고 말하는 데서 끝내지 않고, 각 단계의 선택 수와 곱셈이 필요한 이유를 말하게 한다. 질문할 때도 “모르겠다” 대신 “두 번째 단계에서 M2 가지를 빠뜨렸다”처럼 막힌 위치를 특정하도록 훈련한다.
학교 프린트와 표현이 다른 문제집 문항을 번갈아 사용하되, 경우의 수 밖의 단원을 분량 확보용으로 추가하지 않는다. 풀이 시간이 길면 정답을 맞혀도 종료하지 않고, 가지 표시와 조건 확인을 유지한 채 제한 시간 안에 독립적으로 처리되는지를 다음 기록에 남긴다.
자주 묻는 질문
Q. 수형도를 항상 전부 그려야 하나요?
A. 처음에는 전체 가지를 그려 누락과 중복을 확인한다. 구조가 분명해진 뒤에는 각 단계의 선택 수를 적고 곱셈식으로 줄일 수 있지만, 왜 곱하는지 말로 설명해야 한다.
Q. 2×3×2를 2의 세제곱으로 써도 되나요?
A. 안 된다. 세 인수가 모두 2일 때만 2³으로 나타낼 수 있다. 2×3×2의 값은 12이고, 2³은 8이다.
Q. 틀린 문제를 여러 번 다시 풀면 충분한가요?
A. 아니다. 숫자와 조건을 바꾼 새 문제에서 가지 누락, 중복, 곱셈·덧셈 구분을 다시 확인해야 독립 적용을 판단할 수 있다.