화곡동 고3수학과외, 반복소수의 첫 항과 공비를 다시 세우는 연습
화곡동에서 고3 수학을 공부하는 학생은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 다르기 때문에 같은 급수 문제도 풀이 과정을 기록하는 방식이 중요하다. 화곡동에는 한광고등학교와 서울신정고등학교가 있고, 화곡고등학교·대일고등학교·공항고등학교는 같은 강서구의 참고 학교로 구분된다. 이번에는 학생이 하루 뒤 변형문제를 풀 때 직전 문제의 부호와 공비를 그대로 재사용한 사례를 다뤘다.
반복소수를 급수로 바꾸기 전 확인할 것
학생이 푼 문제는 다음과 같다.
0.4161616…을 무한등비급수의 합으로 나타내고 분수로 고쳐라.
학생은 숫자 배열을 보고 다음과 같이 적었다.
오답: \(0.4161616\cdots=0.416+0.0016+0.000016+\cdots\)
이 식은 틀렸다. 첫째항을 \(0.416\)으로 잡으면 뒤에 더한 \(0.0016\)부터는 원래 소수의 자리 배열과 맞지 않는다. 실제 소수는 \(0.4\) 다음에 \(0.016, 0.00016, 0.0000016\)이 이어지는 구조가 아니다. 반복되는 두 자리 \(16\)이 나타나는 위치를 기준으로 첫 항과 공비를 다시 정해야 한다.
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 소수점을 기준으로 자리값을 확인했다.
\[ 0.4161616\cdots =0.4+0.016+0.00016+0.0000016+\cdots \]
따라서 첫째항은 \(0.016\), 공비는 \(0.01\)인 뒤쪽 급수와 \(0.4\)를 분리한다.
\[ 0.4161616\cdots =0.4+\frac{0.016}{1-0.01} =\frac25+\frac{16}{1000}\cdot\frac{100}{99} \]
\[ =\frac25+\frac8{495} =\frac{198}{495}+\frac8{495} =\boxed{\frac{206}{495}} \]
공비의 절댓값이 \(0.01<1\)이므로 무한등비급수는 수렴한다. 부분합으로도 확인할 수 있다.
\[ S_n=0.4+0.016\frac{1-0.01^n}{1-0.01} \]
\[ \lim_{n\to\infty}S_n =0.4+\frac{0.016}{0.99} =0.4161616\cdots \]
분수의 역검산도 실시했다.
\[ \frac{206}{495}=0.416161616\cdots \]
반복되는 두 자리와 원래 소수가 일치하므로 수정된 풀이가 맞다. 학생은 답만 고치는 대신 반복 구간 확인 → 첫째항 설정 → 공비 확인 → 수렴조건 확인 → 소수로 역검산의 순서를 답안 옆에 적었다.
조건을 바꾼 독립 검증
직전 예제를 보지 않고 다음 문제를 새로 풀게 했다.
0.2737373…을 무한등비급수의 합으로 나타내고 분수로 나타내라.
이번에는 반복되는 \(37\)이 소수 둘째 자리 뒤에서 시작한다는 점을 먼저 표시한다.
\[ 0.2737373\cdots =0.27+0.0037+0.000037+\cdots \]
뒤의 급수에서 첫째항은 \(0.0037\), 공비는 \(0.01\)이다.
\[ 0.2737373\cdots =0.27+\frac{0.0037}{1-0.01} =\frac{27}{100}+\frac{37}{9900} \]
\[ =\frac{2673}{9900}+\frac{37}{9900} =\boxed{\frac{271}{990}} \]
역으로 계산하면
\[ \frac{271}{990}=0.2737373\cdots \]
가 되어 반복비율이 정확히 \(0.01\)로 돌아온다. 숫자와 반복 위치를 바꾼 문제에서도 직전 부호나 공비를 복사하지 않고, 소수의 자리와 변수 관계에서 첫째항과 공비를 새로 정하는 기준이 재현되었는지 확인했다.