염창동중1수학과외, 공약수 문제에서 중간식을 생략해 계산 오류를 찾는 연습
“12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6이니까 답은 6이다.”
이 풀이에서 답만 보면 맞을 수 있지만, 문제에서 “두 수의 공약수를 모두 구하시오”라고 했다면 6만 적은 것은 완전한 답이 아니다. 반대로 24와 36을 보고 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12라고 썼다면 8은 24의 약수이지만 36의 약수가 아니므로 공약수가 아니다. 중1 공약수 문제는 계산 자체보다 약수 목록을 어떻게 만들고, 두 수에 공통으로 들어가는 수를 어떤 순서로 확인하는지가 중요하다.
한 문제에 오래 머무는 순간 생기는 오류
염창동중1수학과외에서 공약수 단원을 살펴볼 때 자주 확인되는 장면은 문제를 읽은 뒤 바로 큰 수부터 나누는 행동이다. 예를 들어 “24개의 사과와 36개의 배를 같은 수씩 남김없이 나누어 담을 때, 만들 수 있는 묶음 수”를 구하는 문제에서 학생이 36÷24를 먼저 계산하고, 나누어떨어지지 않자 문제 전체를 다시 읽는다.
이때 풀이를 다음처럼 한 줄로 적는 경우가 있다.
24와 36의 최대공약수는 12이므로 12묶음, 한 묶음에 사과 2개와 배 3개.
정답은 맞더라도 왜 12인지 중간 과정이 없다. 만약 24와 42처럼 수가 바뀌면 12를 그대로 떠올리거나, 24의 약수와 42의 약수를 구하는 중간에 계산을 틀려도 어느 줄에서 오류가 났는지 확인하기 어렵다. 한 문제에 시간이 길어지고 뒤 문항을 놓치는 이유도 이처럼 풀이의 핵심 단계가 머릿속에만 남아 있기 때문이다.
공약수 연결 문제에서 먼저 고정할 풀이 흐름
공약수는 두 수의 약수 목록에서 겹치는 수이다. 최대공약수는 그중 가장 큰 수이므로, 문제의 수량 관계를 먼저 공약수 상황으로 바꾸어야 한다. 24와 36의 경우 다음처럼 중간식을 나누어 적는다.
24의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
공약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
최대공약수: 12
약수 목록을 모두 쓰는 방법만 가능한 것은 아니다. 소인수분해를 사용해도 된다.
24=2×2×2×3, 36=2×2×3×3
공통으로 사용할 수 있는 인수는 2×2×3이므로 최대공약수는 12이다.
다만 학생이 두 방법을 섞어 쓰다가 24의 소인수 2를 세 번, 36의 소인수 2를 두 번보다 많이 사용하지 않도록 해야 한다. 현재 풀이에서 필요한 방식 하나를 정하고, 중간식을 남긴 뒤 결과를 확인하는 것이 우선이다.
오답을 ‘계산 실수’로 끝내지 않는 기록
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 30과 45의 공약수를 구하는 문제에서 학생은 1, 3, 5, 15를 적어 놓고 9를 빠뜨렸다. 이때 오답 노트에 “계산 실수”라고만 쓰면 다음 문제에서도 같은 누락이 반복된다. 오답 원인은 다음 네 가지 중 하나로 정한다.
- 개념: 공약수와 최대공약수의 뜻을 구분하지 못함
- 조건: 문제에서 ‘모두’인지 ‘가장 큰 수’인지 확인하지 않음
- 계산: 약수 목록이나 소인수분해 과정에서 인수를 잘못 적음
- 표현: 답은 구했지만 공약수 목록과 이유를 쓰지 않음
이 학생의 경우 9를 빠뜨린 것은 30의 약수 목록을 끝까지 만들지 않았기 때문인지, 45의 약수와 비교하는 과정에서 누락했기 때문인지 먼저 확인한다. 이후 “다음 문제에서는 약수 목록을 작은 수부터 정렬하고, 두 목록에 공통 표시를 한다”처럼 피할 행동을 한 줄로 적는다.
중간식을 다시 쓰는 짧은 복구 방법
초등 계산 공백이 보인다고 해서 약수와 배수 전 단원을 처음부터 다시 펼칠 필요는 없다. 현재 문제를 막는 부분만 찾는다. 예를 들어 18의 약수를 찾을 때 18÷4를 계산하고 나머지를 무시한다면, 나누어떨어지는 수만 약수라는 기준과 곱셈 짝을 짧게 복구한다.
18=1×18=2×9=3×6
따라서 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이다.
그다음 24와 18의 공약수를 구하는 현재 문제로 바로 돌아온다.
24의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
공약수: 1, 2, 3, 6
이처럼 막힌 줄만 다시 쓰면 학생은 긴 복습 대신 오류가 생긴 위치를 볼 수 있다. 시험 중에는 모든 약수를 길게 적기 어려울 수 있으므로, 수가 크지 않을 때는 목록법을 쓰고 소인수분해가 더 빠른 경우에는 그 방법으로 전환한다. 중요한 것은 선택한 방법의 중간식을 생략하지 않는 것이다.
시간 배분과 서술형 표현을 함께 훈련하기
수행평가와 지필 준비가 겹치는 시기에는 한 공약수 문제에 지나치게 오래 머무르면서 뒤 문항을 놓치지 않도록 세 단계를 정한다. 먼저 문제의 수량 관계에 밑줄을 긋고, 공약수인지 최대공약수인지 표시한다. 다음으로 약수 목록 또는 소인수분해를 작성한다. 마지막으로 답의 단위와 이유를 확인한다.
예를 들어 “48개의 연필과 60개의 지우개를 같은 수의 세트로 남김없이 만들 때 최대 몇 세트인가?”에서는 두 수를 나누어떨어지게 하는 가장 큰 세트 수를 찾는다.
48=2×2×2×2×3
60=2×2×3×5
최대공약수=2×2×3=12
48÷12=4, 60÷12=5
따라서 최대 12세트이며, 한 세트에는 연필 4개와 지우개 5개가 들어간다.
서술형 답안에는 “48과 60의 최대공약수가 12이므로 12세트이다. 48÷12=4, 60÷12=5이므로 각 세트에 연필 4개와 지우개 5개를 넣을 수 있다.”처럼 공통 조건과 나눗셈 확인을 남긴다. 답만 맞히는 습관을 줄이고 사용한 조건과 식을 문장으로 표현하는 연습이 된다.
숫자를 바꾼 뒤에도 같은 방식이 유지되는지 확인
같은 문제를 바로 다시 풀어 맞히는 것으로 끝내지 않는다. 먼저 48과 60을 54와 72로 바꾼다.
54=2×3×3×3, 72=2×2×2×3×3
최대공약수=2×3×3=18
54÷18=3, 72÷18=4
이번에는 “최대”를 “공약수를 모두”로 바꾸어 18과 30의 공약수를 적게 한다. 또 “같은 수의 세트”라는 표현을 “남김없이 나누는 가장 큰 묶음 수”로 바꾸어도 공약수 상황을 알아보는지 확인한다. 다음 날에는 24와 36 문제를 다시 꺼내 중간식을 가리지 않고 풀게 하고, 일주일 뒤에는 숫자를 42와 70으로 바꾸어 오답 원인을 다시 분류한다.
염창동의 염경중학교와 염창중학교를 비롯해 강서구 내 학교를 참고해 학습 일정을 세울 때도 특정 학교의 시험 경향을 추측하기보다 실제 시험범위의 공약수 문제를 기준으로 미완료 항목을 관리하는 편이 안전하다. 염창보람더하이아파트와 한솔아파트 등 생활권에서 통학하는 학생이라면 이동 후 긴 복습 시간을 확보하기 어려운 날을 고려해, 약수 목록 작성과 오답 원인 분류처럼 짧지만 확인 가능한 훈련을 배치할 수 있다.
공약수 단원의 목표는 정답 숫자를 빠르게 떠올리는 데 있지 않다. 문제에서 요구하는 것이 공약수 전체인지 최대공약수인지 구별하고, 중간식을 남겨 오류 위치를 찾으며, 숫자와 표현이 달라져도 같은 관계를 다시 세우는 데 있다. 이 과정이 갖추어지면 한 문제에 묶여 뒤 문항을 놓치는 상황도 점차 줄어든다.