“분모에 √3이 있으니 무조건 √3을 곱하면 되죠?” 방화동 중3 학생이 분수식 2/√3을 보며 적은 첫 설명이다. 계산 결과는 맞힐 수 있지만, 분모의 유리화는 근호가 보이는 대로 처리하는 계산 절차가 아니다. 분모에 어떤 수가 남아 있는지, 한 번의 곱셈으로 분모를 유리수로 만들 수 있는지를 먼저 판별해야 한다.
방화동중3수학과외, √가 있다고 바로 곱하지 않는 분모의 유리화
학생은 2/√3을 보고 분자와 분모에 √3을 곱해 2√3/3을 얻었다. 이 풀이는 정확하다. 그러나 비슷한 문제인 1/(2+√3)에서는 같은 행동을 반복해 분자와 분모에 √3을 곱했고, 분모를 2√3+3으로 만들었다. 분모에 근호가 그대로 남았는데도 “유리화가 끝났다”고 표시했다.
두 문제의 차이는 √의 유무가 아니다. 첫 번째 분모는 √3 하나이므로 같은 근호를 곱하면 (√3)²=3이 된다. 두 번째 분모는 2+√3이라는 합으로 이루어져 있어 √3만 곱해서는 유리수가 되지 않는다. 이때는 부호가 반대인 2-√3을 곱해야 한다. 즉, 분모의 형태를 읽고 짝이 되는 식을 선택하는 것이 첫 단계다.
단일 근호 분모와 합으로 된 분모를 나누어 보기
a/√b처럼 분모가 하나의 근호라면 분모와 분자에 √b를 곱한다.
2/√3 = (2×√3)/(√3×√3)=2√3/3
여기서 학생이 자주 쓰는 2/3은 분모의 √3을 없애기 위해 분자에도 √3을 곱해야 한다는 조건을 놓친 결과다. 반대로 √12/√3은 먼저 근호의 나눗셈을 정리하여 √(12/3)=√4=2로 볼 수 있다. 문제의 식을 무조건 유리화 형식으로 바꾸기보다, 이미 약분 가능한지 살피는 습관도 필요하다.
분모가 2+√3처럼 유리수와 근호의 합이면 켤레식인 2-√3을 사용한다.
1/(2+√3) = (2-√3)/((2+√3)(2-√3))
분모는 곱셈공식에 따라 2²-(√3)²=4-3=1이므로 결과는 2-√3이다. 학생이 중간에 (2+√3)²로 바꾸는 경우도 있었는데, 이는 같은 식을 곱한 것이지 켤레식을 곱한 것이 아니다. 유리화의 목적은 분모를 크게 만드는 데 있지 않고, 분모의 근호항을 없애는 데 있다.
계산 전에 분모에 표시하는 세 가지 질문
풀이를 시작할 때 학생에게 분모만 네모로 묶게 했다. 이어서 다음 세 질문에 답을 쓰게 했다.
- 분모가 하나의 근호인가, 두 항의 합 또는 차인가?
- 같은 근호를 곱하면 분모가 유리수가 되는가?
- 합 또는 차라면 부호만 반대인 켤레식은 무엇인가?
5/√7에서는 “하나의 근호, √7을 곱하면 7”이라고 말한 뒤 5√7/7을 적었다. 3/(1-√5)에서는 “합 또는 차, 켤레는 1+√5”라고 먼저 썼다.
3/(1-√5)의 분모에 켤레식을 곱하면
3/(1-√5) = 3(1+√5)/((1-√5)(1+√5))
분모는 1-(√5)²=1-5=-4이므로
3(1+√5)/(-4) = -3(1+√5)/4
가 된다. 여기서 분모가 음수가 되는 것을 보고 부호를 임의로 지우면 안 된다. 최종식은 같은 값을 유지해야 하므로 분자 전체에 음수를 분배하거나 -3(1+√5)/4처럼 남겨 두어야 한다.
맞힌 답에도 끝내지 않고 원래 식으로 되돌아가기
유리화는 분모를 정수로 바꾼 뒤 끝나는 문제가 아니다. 바뀐 식이 원래 식과 같은지 확인해야 한다. 예를 들어 2/√3에서 얻은 2√3/3에 다시 √3을 곱하면 2가 되어 원래 분자와 일치한다. 또는 (2√3/3) ÷ (2/√3)=1인지 확인할 수 있다.
학생은 처음에는 분자와 분모에 같은 식을 곱했다는 표시를 생략했다. 그러면 왜 값이 변하지 않는지 설명하기 어려워진다. 그래서 풀이 옆에 √3/√3=1, (2-√3)/(2-√3)=1을 작게 적게 했다. 유리화는 식의 모양을 바꾸는 일이지만, 1을 곱해 값은 보존한다는 근거를 남기는 것이다.
방화동의 방원중학교, 방화중학교, 삼정중학교처럼 지역 내 중학교에서 배운 분모의 유리화는 고등학교 식의 변형에서도 기호와 조건이 늘어난 형태로 이어진다. 방화2단지와 방화4단지, 방신전통시장 인근에서 통학하는 학생이라면 이동 뒤 과제와 시험 준비 시간이 촘촘해질 수 있어, 긴 계산을 반복하기보다 첫 판별을 빠르게 하는 풀이 기록이 효율적이다. 같은 강서구의 경서중학교와 공항중학교는 참고 학교일 뿐 방화동 소재 학교로 구분해 보아야 한다.
새 숫자와 다른 형태에서 스스로 선택하는지 확인하기
다음 학습에서는 앞의 문제를 그대로 다시 풀리지 않았다. 대신 4/√6, 2/(3+√2), 1/(√5-2)를 섞어 제시하고 계산 전에 사용할 식부터 적게 했다.
4/√6에서는 √6을 선택하여 4√6/6=2√6/3으로 정리했다. 2/(3+√2)에서는 켤레식 3-√2를 골라 분모를 9-2=7로 만들었다. 1/(√5-2)에서는 순서를 보고 켤레식 √5+2를 사용하여 분모를 5-4=1로 계산했다.
마지막 문제에서 학생은 “분모가 한 근호면 같은 근호, 두 항이면 부호를 바꾼 켤레식”이라고 말한 뒤 풀이를 시작했다. 숫자와 분모의 배열이 바뀌어도 정답을 외워 쓰지 않고, 먼저 분모의 구조를 판별하고 유리수가 되는 이유까지 확인했다면 분모의 유리화는 독립적으로 적용된 것으로 볼 수 있다.