마곡동중3수학과외, 근호식 덧셈·뺄셈의 부호와 동류근호 다시 세우기
학생이 적어 온 답은 다음과 같았다.
√12＋√27＝√39
또 다른 문항에서는
3√5－√20＝2√5
라고 썼다. 첫 번째 식은 근호 안의 수를 그대로 더한 것이 문제였고, 두 번째 식은 √20을 2√5로 바꾸는 과정까지는 맞았지만 앞의 계수 계산에서 3－2를 하지 않고 2를 적었다. 근호식의 덧셈·뺄셈은 답의 모양을 외우는 단원이 아니다. 근호 안을 먼저 간단히 만들고, 같은 근호끼리 계수만 계산해야 한다는 원리를 숫자와 표현이 달라져도 꺼내야 한다.
√12와 √27을 먼저 같은 형태로 바꾸는 이유
√12에는 4가 제곱수로 들어 있으므로 √12＝2√3이다. √27＝3√3이므로 두 식은 이제 같은 √3을 가진 항이 된다.
따라서
√12＋√27＝2√3＋3√3＝5√3
이다. √39는 √3과 같은 종류의 근호가 아니며, 실제로 √39는 더 이상 5√3으로 바뀌지 않는다. 학생에게는 계산 전에 각 근호 안에서 제곱수 인수를 찾고, 그 제곱수를 근호 밖으로 꺼내는 표시를 하게 했다. 바로 답을 쓰지 않고 ‘간단히 만든 뒤 같은 근호인지 확인한다’는 두 단계를 식 옆에 남기는 방식이다.
앞의 숫자는 근호와 함께 묶인 계수로 읽기
3√5－√20에서 √20＝√(4×5)＝2√5이다. 처음의 √5에는 계수 1이 숨어 있으므로 정확한 계산은 다음과 같다.
3√5－√20＝3√5－2√5＝(3－2)√5＝√5
학생이 처음 쓴 2√5는 뺄셈 결과가 아니라, √20을 간단히 만든 단계에서 나온 수를 잘못 사용한 답이다. 이때 ‘근호 안의 수를 빼는가’가 아니라 ‘같은 근호 앞의 계수를 빼는가’를 묻는다. √5와 √20을 곧바로 계산할 수 없는 까닭도 함께 확인한다. √20을 2√5로 바꾼 뒤에야 3√5와 동류근호가 되기 때문이다.
부호가 식의 앞부분에 붙어 있을 때도 같은 원칙을 적용한다. 예를 들어
2√18－√8＋√50
은 √18＝3√2, √8＝2√2, √50＝5√2로 바꾼 뒤
6√2－2√2＋5√2＝9√2
가 된다. 학생이 중간 줄에서 마이너스를 지우지 않도록, 간단히 바뀐 근호 앞에 원래 부호를 그대로 옮겨 적게 했다. 특히 ‘－√8’을 ‘＋2√2’로 바꾸는 실수를 막기 위해 부호와 계수를 한 덩어리로 표시한다.
그림으로 바뀌어도 같은 근호인지 확인하기
수식만 보면 기계적으로 √ 안의 숫자를 처리하던 학생에게는 넓이를 이용한 그림을 제시했다. 한 변의 길이가 √3인 정사각형 두 개의 넓이는 각각 3이고, 같은 모양의 넓이를 단순히 더해 변의 길이를 √6으로 만드는 식은 성립하지 않는다. 근호식의 덧셈은 근호 안의 수를 합치는 것이 아니라, 같은 근호를 가진 항의 개수를 계수로 계산하는 과정이기 때문이다.
이 설명을 식에 연결해 √3＋2√3을 3√3으로 읽게 했다. 반면 √3＋√2는 근호가 다르므로 하나의 항으로 합칠 수 없다. 학생은 이전에는 두 식을 모두 ‘앞의 숫자가 없으니 1’로 보고 근호 안을 더하려 했지만, 그림에서 같은 길이 단위가 반복되는지 먼저 찾은 뒤 식을 정리하는 행동으로 바꾸었다.
맞힌 답도 간단히 끝났는지 다시 확인하기
근호식은 계산 결과가 맞아 보여도 근호 안에 제곱수 인수가 남아 있으면 풀이가 끝난 것이 아니다. 예를 들어
√48－√12＝4√3－2√3＝2√3
처럼 √48과 √12를 각각 간단히 만든 뒤 계산해야 한다. 반대로 2√12라고 적었다면 계수끼리 계산한 결과만 확인할 것이 아니라 √12＝2√3을 적용해 4√3까지 정리해야 한다.
마곡동에서 마곡중학교와 마곡하늬중학교의 시험 범위, 수행평가 일정, 학생의 평일 귀가 시간을 함께 놓고 계획을 세울 때도 이 단원을 한 번에 많은 문항으로 밀어붙이지 않는다. 귀가가 늦은 날에는 학교 프린트에서 근호를 간단히 만드는 문항과 부호가 섞인 한두 문항을 골라 풀이 줄을 점검하고, 시간이 있는 날에는 표현이 바뀐 서술형이나 그림 문제까지 연결한다. 마곡지구도시개발지구와 마곡13단지, 마곡엠밸리5단지 등 생활권 이동 시간을 고려해 학습일을 나누되, 학교별 출제 경향을 확인하지 않은 채 단정하지는 않는다. 경서중학교·공항중학교·덕원중학교는 같은 강서구의 참고 학교이며 마곡동 소재 학교와 구분해 자료를 살핀다.
새 숫자에서 첫 행동을 다시 꺼내는지 확인하기
다음 시간에는 숫자와 부호를 바꾼 문제를 제시했다.
√75＋2√12－√27
학생은 이번에는 곧바로 근호 안을 더하지 않고, 75＝25×3, 12＝4×3, 27＝9×3을 찾아 각각 5√3, 2√3, 3√3으로 바꾸었다. 원래 식의 두 번째 항은 2√12이므로 2×2√3＝4√3이다.
5√3＋4√3－3√3＝6√3
마지막에는 자신의 결과를 다시 원래 표현으로 대입해 확인했다. 6√3은 5√3＋4√3－3√3과 같은 값이고, 근호 안의 제곱수도 모두 꺼내져 있다. 같은 문제의 답을 기억한 것이 아니라, ‘제곱수 인수 찾기 → 부호와 계수 유지하기 → 같은 근호끼리 계산하기 → 더 간단한 형태인지 점검하기’라는 순서를 새로운 식에서 혼자 재현했는지가 확인 기준이 된다.
자주 묻는 질문
√2＋√8은 √10인가요?
아니다. √8＝2√2이므로 √2＋√8＝√2＋2√2＝3√2이다.
근호가 다르면 항상 계산할 수 없나요?
먼저 각각을 간단히 만든 뒤 판단해야 한다. √12와 √27처럼 처음에는 달라도 2√3과 3√3으로 바뀌면 덧셈·뺄셈이 가능하다.