등촌동중1수학과외, 약수의 개수 문제를 답만 기억하지 않고 다시 푸는 연습
“36의 약수는 9개였으니까 72도 비슷하게 9개일 거예요.” 한 중1 학생이 약수의 개수 문제를 다시 풀면서 한 말이다. 전날 풀이를 본 뒤에는 정답을 맞혔지만, 숫자를 바꾸자 소인수분해 과정 없이 기억해 둔 답을 먼저 꺼냈다. 약수의 개수는 결과를 외우는 단원이 아니라 소인수분해의 지수와 개수 사이의 관계를 직접 연결해야 하는 주제다.
36의 약수 9개를 어떻게 얻었는가
36을 먼저 소인수분해하면 다음과 같다.
36＝2²×3²
약수는 2의 지수를 0, 1, 2 중에서 고르고, 3의 지수도 0, 1, 2 중에서 고른 결과로 만들 수 있다. 따라서 약수의 개수는
(2＋1)(2＋1)＝9
이다. 여기서 2와 3의 지수를 각각 세 가지씩 선택하므로 9개가 된다는 뜻을 말할 수 있어야 한다. 단순히 36의 약수가 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이라고 나열하는 것만으로는 72나 180에 같은 방법을 적용하기 어렵다.
이때 학생이 자주 하는 행동은 답지의 마지막 숫자만 확인하고 앞의 소인수분해를 생략하는 것이다. 36을 다시 제시하면 9를 맞히지만, 48을 주면 “6개였나 10개였나”처럼 전에 본 문제의 답을 떠올린다. 또 2²×3²에서 지수의 2를 그대로 더해 4라고 답하거나, 밑인 2와 3까지 계산해 36을 다시 만든 뒤 약수 개수와 혼동하기도 한다.
답이 아니라 선택 과정을 적는 표시
풀이 용지에 세 칸을 만든다.
- 소인수분해: 48＝2⁴×3
- 지수에 1을 더하기: (4＋1)(1＋1)
- 약수 개수: 10개
학생은 지수만 동그라미로 표시하고, 각 지수 옆에 “0부터 4까지”, “0부터 1까지”라고 짧게 적는다. 그러면 2⁴의 약수에서 2의 지수를 다섯 가지로 고르고, 3의 지수를 두 가지로 고른다는 의미가 드러난다. 답만 적는 대신 왜 5×2가 되는지 말하게 하는 방식이다.
예를 들어 72는 2³×3²이므로 약수의 개수는 (3＋1)(2＋1)＝12개이다. 학생이 “72는 전에 본 숫자와 달라서 모르겠다”고 하면 약수 목록을 처음부터 만들게 하지 않고, 소인수분해와 지수 표시만 다시 하게 한다. 약수 12개를 실제로 모두 나열하는 것은 검산 단계에서 선택할 수 있지만, 기본 풀이가 되어서는 안 된다.
문장 속 숫자를 모두 쓰지 않는 훈련과 연결하기
등촌동의 등명중학교, 등원중학교, 등촌중학교, 마포중학교, 백석중학교 등 학교별 프린트와 수행평가 준비에서는 한 장의 자료에 여러 숫자가 함께 제시될 수 있다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정은 확인 자료로 활용하되, 어느 학교의 난도가 높다고 단정하지 않고 학생의 실제 일정에 맞춰 풀이 순서를 조정하는 것이 적절하다. 등촌5단지, 등촌6단지, 등촌주공8단지처럼 생활권이 다른 경우에도 핵심은 이동이나 지역 설명이 아니라 귀가 후 남은 시간에 약수 개수 풀이 과정을 재현하는 것이다.
문장제에서 “어떤 수는 2와 3을 소인수로 가지고, 전체 약수의 개수가 12개이다”와 같은 조건이 나오면 숫자를 모두 식에 넣는 습관부터 멈춘다. 먼저 필요한 수량을 화살표로 연결한다.
- 소인수의 지수 → 각 지수에 1을 더함
- 각 선택 수 → 곱셈
- 곱한 값 → 전체 약수의 개수
예컨대 2ᵃ×3²의 약수 개수가 12라면 (a＋1)(2＋1)＝12이므로 3(a＋1)＝12, a＝3이다. 문장에 나온 2와 3을 무작정 곱해 6을 만드는 것이 아니라, “구하려는 것은 밑의 값이 아니라 지수”라는 점을 식 옆에 적는다. 괄호가 포함된 계산에서는 3(a＋1)을 3a＋1로 잘못 전개하지 않도록 중간식을 한 줄 유지한다.
다음 문제에서 풀이가 살아 있는지 확인하기
같은 36을 즉시 다시 풀어 9개를 맞히는 것만으로는 부족하다. 먼저 48, 90, 200처럼 소인수의 종류와 지수를 바꾼 수를 제시한다. 90＝2×3²×5이므로 약수 개수는 (1＋1)(2＋1)(1＋1)＝12개이다. 200＝2³×5²이므로 (3＋1)(2＋1)＝12개이다. 두 수의 답이 같아도 소인수분해가 다르다는 점을 설명해야 한다.
그 다음에는 조건을 바꾼다. “어떤 수가 2ᵃ×3²이고 약수의 개수가 15개일 때 a를 구하여라”처럼 제시하면 (a＋1)×3＝15에서 a＝4를 얻는다. 이때 학생이 전날의 12나 9를 말하지 않고, 지수 선택 수를 먼저 설명하는지 확인한다. 마지막으로 다음 날 시간 제한을 두고 72와 2ᵃ×5의 조건 문제를 섞어 푼다. 정답보다 소인수분해, 지수에 1을 더한 식, 계산 결과를 순서대로 남겼다면 독립 적용이 시작된 것으로 볼 수 있다.
약수 개수 문제에서 필요한 보충은 초등 수학 전 범위가 아니다. 현재 소인수분해에서 막히면 48을 2로 나누고 몫을 다시 나누는 과정, 지수가 같은 소인수의 곱을 묶는 과정만 짧게 복구한다. 이후 새로운 수에서 도움 없이 소인수분해와 (지수＋1)의 곱을 연결하면 해당 누적공백 복습은 멈추고 다음 변형 문제로 넘어간다.
자주 묻는 질문
약수를 직접 모두 써 보는 것은 필요하지 않나요?
처음 관계를 확인하거나 답을 검산할 때는 유용하다. 그러나 수가 커질수록 목록보다 소인수분해와 지수 선택 과정을 기본 풀이로 삼아야 한다.
약수의 개수와 약수의 합을 혼동하면 어떻게 하나요?
문제의 요구를 먼저 표시한다. 개수는 (지수＋1)의 곱이고, 합은 각 소인수의 거듭제곱을 더하는 별도 계산이므로 같은 식으로 처리하지 않는다.