가양동중3수학과외, 동류근호를 변형된 식에서도 골라내는 연습
학생이 다음 식을 보고 바로 계산을 시작했다.
√12 + √27 = √39
겉으로는 근호가 있는 수를 더한 것처럼 보이지만, 이 식은 동류근호의 조건을 확인하지 않은 결과다. √12와 √27은 먼저 각각 간단히 해야 한다. √12=2√3, √27=3√3이므로 두 식은 같은 √3을 포함하는 동류근호가 되고, 그때에야 2√3+3√3=5√3으로 정리할 수 있다.
근호 안의 수가 아니라 간단히 한 뒤의 근호를 비교한다
수업 중 학생은 “12와 27이 다르니 동류근호가 아니다”라고 설명했다. 하지만 동류근호를 판단할 때 처음 보이는 근호 안의 수만 비교하면 안 된다. 먼저 완전제곱수를 밖으로 꺼내어 근호를 가장 간단한 꼴로 바꾼 뒤, 근호 안의 수가 같은지 확인해야 한다.
예를 들어 √8과 √18은 처음에는 서로 다른 형태다.
√8=2√2, √18=3√2
따라서 두 항은 동류근호이며, √8+√18=5√2가 된다. 반면 √12와 √20은 각각 2√3, 2√5이므로 근호 안의 수가 다르다. 계수가 같다는 이유만으로 4√3과 4√5를 더할 수는 없다.
학생의 풀이에서 바꿔야 할 첫 줄
학생은 복잡해 보이는 식에서 숫자만 더하려는 행동을 반복했다.
3√5+2√7=5√12
이 경우에는 두 항의 근호 안이 5와 7로 다르므로 동류항처럼 합칠 수 없다. 올바른 정리는 3√5+2√7을 그대로 두는 것이다. 동류근호의 덧셈은 근호 안의 수를 더하는 계산이 아니라, 같은 근호 부분을 문자처럼 보고 앞의 계수만 계산하는 과정이다.
풀이를 시작할 때 학생이 해야 할 행동을 한 줄로 정했다. ‘각 근호를 간단히 만든다 → 근호 안을 비교한다 → 같은 것끼리 계수만 계산한다.’ 이 순서를 식 옆에 표시하고, 동류근호가 아닌 항은 억지로 하나로 묶지 않도록 했다.
분배와 묶어내기를 동류근호에 적용하기
동류근호 문제는 단순한 두 항의 덧셈으로만 나오지 않는다. 다음 식에서 학생은 괄호 안을 먼저 계산한 뒤 앞의 부호를 놓쳤다.
2√3-(√12-√27)
근호를 간단히 바꾸면
2√3-(2√3-3√3)
이다. 괄호 앞에 마이너스가 있으므로 괄호 안의 두 항의 부호가 모두 바뀐다.
2√3-2√3+3√3=3√3
학생에게는 근호 계산과 부호 처리를 따로 표시하게 했다. 먼저 √12=2√3, √27=3√3을 적고, 그다음 괄호 앞의 ‘−’를 각 항에 적용한다. 근호를 간단히 하는 과정과 식을 정리하는 과정을 한 줄에 섞지 않자, 2√3을 지워 버리거나 −3√3을 −로 바꾸는 실수가 줄었다.
곱셈과 덧셈을 같은 방식으로 처리하지 않기
학생이 또 막힌 부분은 다음과 같은 식이었다.
√6(√6+2√3)
동류근호의 덧셈에서는 같은 근호 부분의 계수만 계산하지만, 곱셈에서는 분배법칙을 사용한다.
√6×√6+√6×2√3=6+2√18=6+6√2
여기서 √6×√6=6이고, 2√6√3=2√18=6√2이다. 학생은 √6과 2√3을 동류근호처럼 보아 3√9로 만들려고 했는데, 이는 덧셈의 규칙과 곱셈의 규칙을 혼동한 행동이다. 식에 덧셈 기호가 있는지, 곱셈 기호가 있는지 먼저 표시하게 하여 적용할 규칙을 구분했다.
가양동 생활권에서 과제 확인을 짧게 이어 가는 방법
가양동의 경서중학교와 성재중학교를 비롯해 학교별 프린트와 과제 일정은 다를 수 있다. 같은 강서구의 공항중학교·덕원중학교·등명중학교는 참고할 수 있는 학교이지만 가양동 소재 학교와는 구분해서 보아야 한다. 학교 선택보다 실제 점검에는 자녀가 귀가한 뒤 어느 시각에 수학 과제를 시작하는지, 학교 프린트에서 동류근호 문항을 몇 줄 풀고 멈추는지, 시험 전날 계산 문제와 서술형 문제 중 무엇을 먼저 확인하는지가 더 직접적인 자료가 된다.
가양3단지, 가양45단지, 가양7단지 등 생활권에서 이동하는 학생이라면 긴 복습 계획보다 귀가 후 20분 동안 틀린 식의 첫 줄만 다시 쓰게 하는 방식이 현실적이다. 틀린 문제를 통째로 반복하기보다 ‘간단히 한 뒤 같은 근호를 찾았는가’를 표시하면 과제량이 많은 날에도 오류 위치를 확인할 수 있다.
숫자와 식의 모양을 바꾼 독립 검증
수정한 뒤 같은 식을 다시 풀게 하지는 않았다. 대신 다음 문제를 제시했다.
√45-√20+2√5
학생은 먼저 √45=3√5, √20=2√5라고 바꾸었다. 이어서
3√5-2√5+2√5=3√5
로 계산했다. 이번에는 처음부터 근호 안의 수를 더하지 않았고, 마이너스가 붙은 항의 계수도 그대로 −2로 옮겼다.
마지막으로 근호 안이 같아 보이지만 실제로는 다른 문제를 추가했다.
√50+√12-√8
√50=5√2, √12=2√3, √8=2√2이므로,
5√2+2√3-2√2=3√2+2√3
이다. 학생은 √2와 √3을 구분해 각각 묶었고, 서로 다른 근호를 하나로 합치지 않았다. 동류근호를 외운 문장으로 답한 것이 아니라, 근호를 간단히 만든 뒤 같은 부분을 찾아 계수만 계산하는 첫 행동을 새로운 식에서도 스스로 꺼내 쓴 것이다.