가양동 고3 수학과외: 부호가 바뀐 등비급수에서 미지수 다시 결정하기
가양동의 동양고등학교, 세현고등학교, 영등포공업고등학교 학생들은 귀가 시각과 과제량에 따라 시험 준비 순서를 조정할 필요가 있다. 특히 급수 문제는 앞에서 풀었던 숫자를 그대로 옮기기보다 새 조건에서 공비의 범위와 부호를 먼저 확인해야 한다.
이전 문제의 값을 새 문제에 복사한 오답
학생은 앞선 문제에서 등비급수
\[ 6-6k+6k^2-6k^3+\cdots \]
의 합이 \(4\)라는 조건을 이용해
\[ \frac{6}{1+k}=4 \quad\Rightarrow\quad k=\frac12 \]
를 얻었다. 그런데 새 문제
\[ 8-8k+8k^2-8k^3+\cdots \] 의 합이 \(6\)일 때 \(k\)의 값을 구하여라.
에서도 새 합 조건을 확인하지 않고 다음과 같이 작성했다.
오답식: \(\displaystyle k=\frac12\)
이 식은 직전 문제의 값을 복사한 것으로, 새 급수의 첫째항 \(8\)과 합 \(6\)을 반영하지 않았기 때문에 틀렸다.
공비의 부호와 수렴조건부터 다시 확인하기
새 급수의 공비는 \(-k\)이므로 무한등비급수의 합을 사용할 수 있으려면
\[ |-k|<1 \quad\Rightarrow\quad |k|<1 \]
이어야 한다. 따라서 합 공식은
\[ S=\frac{a}{1-r} =\frac{8}{1-(-k)} =\frac{8}{1+k} \]
이다. 합이 \(6\)이므로
\[ \frac{8}{1+k}=6 \]
\[ 8=6+6k,\qquad 6k=2,\qquad k=\frac13 \]
로 고친다. \(\left| \frac13 \right|<1\)이므로 수렴조건도 만족한다.
계산 뒤 원조건에 재대입하기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 첫째항 \(8\), 공비 \(-k\), 합 \(6\)을 원 안에 적고 식을 다시 세웠다. 구한 값을 대입하면
\[ \frac{8}{1+\frac13} =\frac{8}{\frac43} =6 \]
이므로 정답은
\(\displaystyle k=\frac13\)
이다. 첫 항부터 일부 항을 계산해도
\[ 8-\frac83+\frac89-\frac8{27}+\cdots \]
처럼 부호가 번갈아 나타나므로 공비가 \(-\frac13\)이라는 점과도 일치한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 첫째항과 합을 바꿔 다음 문제를 확인한다.
\[ 10-10k+10k^2-10k^3+\cdots \] 의 합이 \(8\)일 때 \(k\)를 구하여라.
공비가 \(-k\)이므로
\[ \frac{10}{1+k}=8 \quad\Rightarrow\quad 10=8+8k \quad\Rightarrow\quad k=\frac14 \]
이다. 실제로
\[ \frac{10}{1+\frac14} =\frac{10}{\frac54} =8 \]
이고 \(\left|\frac14\right|<1\)이므로 조건을 모두 만족한다. 숫자가 바뀌면 이전 \(k\)를 재사용하지 않고, 첫째항·공비·합의 관계를 새로 세워야 한다.