학생이 √18 ÷ √2를 보고 곧바로 √(18÷2)=√9=3이라고 계산했다면 답 자체는 맞다. 그러나 같은 방식으로 √18 ÷ 2까지 √(18÷2)로 바꾼다면 근호의 나눗셈에서 식의 조건을 구분하지 못한 것이다. 강북구중3수학과외에서는 계산 속도보다 먼저 ‘나누는 수 전체가 근호 안에 있는가’를 확인하도록 지도한다.
강북구중3수학과외, 근호의 나눗셈에서 먼저 확인할 식의 형태
학생의 풀이를 보면 두 식을 같은 유형으로 처리하는 경우가 있다.
① √18 ÷ √2
② √18 ÷ 2
①은 분자와 분모가 모두 근호로 표현되어 있으므로 양의 수 조건에서
√18 ÷ √2 = √(18÷2) = √9 = 3
으로 정리할 수 있다. 반면 ②의 2는 근호 밖에 있는 수다. 따라서
√18 ÷ 2 = 3√2 ÷ 2
가 맞으며, √9로 바꿀 수 없다. 학생이 틀린 지점은 나눗셈 계산이 아니라 근호 안팎의 숫자를 확인하지 않고 모양만 보고 규칙을 적용한 데 있다.
√a ÷ √b와 √a ÷ b를 같은 식으로 읽지 않기
근호의 나눗셈 성질은 일반적으로 √a ÷ √b = √(a÷b)처럼 두 근호를 묶어 생각할 때 사용한다. 여기서 나누는 수 역시 근호 안에 있어야 한다. √a ÷ b는 먼저 √a를 간단히 한 뒤 유리수로 나누거나, 필요하다면 분모를 유리화하는 식으로 처리한다.
예를 들어 학생이 √12 ÷ √3에서 분자와 분모의 근호를 확인하고 √(12÷3)=2라고 썼다면 풀이의 근거를 말하게 한다. “루트끼리 나누었기 때문에 근호 안의 수를 나눌 수 있다”는 설명까지 가능해야 한다. 반대로 √12 ÷ 3에서는 2√3 ÷ 3으로 남는다고 구별해야 한다.
계산 전에 괄호를 그어 나누는 대상 표시하기
수업에서는 식을 눈으로만 읽지 않고 학생이 나누는 대상을 직접 표시한다. √24 ÷ √6에서는 두 근호를 각각 괄호로 묶어 (√24) ÷ (√6)이라고 적은 다음, 근호의 나눗셈 성질을 적용한다.
(√24) ÷ (√6)=√(24÷6)=√4=2
이후에는 결과를 제곱하여 확인한다. 2²=4이고, 원래 식을 2√6 ÷ √6으로 바꾸어도 2가 되므로 계산이 일치한다. 이 검산은 정답을 다시 보는 행동이 아니라, 근호 안의 수를 나눈 것이 허용되는 형태였는지 확인하는 과정이다.
두 근호를 나눈 것인가, 근호 밖의 수로 나눈 것인가?
이 한 문장을 풀이 첫 줄에 적으면 학생이 규칙을 기계적으로 적용하는 장면을 줄일 수 있다. √50 ÷ √2는 √25=5가 되지만, √50 ÷ 2는 5√2 ÷ 2이다. 숫자 2가 근호 안에 있는지 밖에 있는지가 결과를 바꾼다.
분모가 근호 밖으로 나온 뒤에는 별도 처리하기
모든 근호의 나눗셈이 바로 정수로 끝나는 것은 아니다. √8 ÷ √3은
√8 ÷ √3 = 2√2 ÷ √3
이고, 분모의 근호를 없애려면 분자와 분모에 √3을 곱한다.
2√2 ÷ √3 = (2√2×√3) ÷ 3 = 2√6 ÷ 3
학생이 여기서 분모에만 √3을 곱하거나 2√6을 3으로 잘못 줄이는지 확인한다. 분모 유리화는 근호의 나눗셈 성질과 다른 절차이므로, 먼저 근호끼리 나눌 수 있는 형태인지 판단한 뒤 필요한 경우에만 진행해야 한다.
강북구에서는 미아동·수유동·우이동 등 생활권에 따라 통학 동선이 달라질 수 있고, 번동주공1단지와 번동주공3단지처럼 생활권 안의 위치에 따라 중학교 이후 이동 시간이 달라질 수 있다. 강북중학교, 번동중학교, 삼각산중학교, 서라벌중학교, 성암여자중학교, 솔샘중학교는 대표 학교 자료로 참고하되 모든 학생의 동일한 통학권이나 같은 시험 경향으로 단정하지 않는다. 이동과 과제가 늘어나는 시기일수록 한 문제를 오래 붙잡기보다 식의 형태를 먼저 판별하는 습관이 실제 학습 시간을 줄인다.
숫자와 표현이 바뀐 문제에서 규칙을 다시 꺼내는가
연습 문제를 바로 같은 숫자로 반복하지 않고 다음처럼 조건을 바꾼다.
√45 ÷ √5에서는 두 수가 모두 근호 안에 있으므로 √(45÷5)=√9=3이다. 하지만 √45 ÷ 5에서는 3√5 ÷ 5로 남는다. 학생에게 먼저 답을 말하게 하지 않고, 나누는 수에 근호가 있는지 손가락으로 짚게 한다. 그 뒤 풀이 첫 줄을 스스로 작성하게 한다.
또 √72 ÷ √8에서는 √(72÷8)=√9=3이라고 계산한 뒤, √72=6√2, √8=2√2로 각각 간단히 하여 6√2 ÷ 2√2=3인지 확인한다. 같은 답을 기억해서 적은 것이 아니라, 근호의 위치를 확인하고 두 방식으로 검산했다면 독립 적용이 이루어진 것으로 본다.
다음 학년의 식에서도 필요한 것은 문제집의 진도량이 아니다. √a ÷ √b와 √a ÷ b를 구별하고, 근호 안의 나눗셈이 가능한지 조건을 말한 뒤, 계산 결과를 원래 식에 대입해 확인하는 순서를 도움 없이 재현하는지가 기준이다.