강북구중1수학과외, 소인수를 찾은 뒤 원래 수를 검산하는 공부
“12의 소인수는 2, 3이니까 답은 6이다.”
이 답안은 소인수를 찾는 과정과 소인수의 곱을 계산하는 과정을 섞으면서 생긴다. 12를 나누어 떨어뜨리는 소수는 2와 3이지만, 소인수의 목록을 묻는 문제에서 2×3을 다시 계산한 6을 답으로 쓰면 질문에 맞지 않는다. 강북구중1수학과외에서는 소인수를 찾았는지, 소인수분해를 끝냈는지, 원래 수로 돌아가는 검산을 했는지를 서로 나누어 확인한다.
소인수와 소인수분해를 같은 것으로 처리하는 순간
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 60을 보고 다음처럼 적을 수 있다.
60=2×30=2×2×15=2×2×3×5, 따라서 소인수는 60이다.
계산 과정 자체는 소인수분해에 해당하지만 마지막 문장이 틀렸다. 60을 소인수만의 곱으로 나타낸 결과는 2×2×3×5이고, 60의 소인수는 2, 3, 5이다. 같은 소수가 반복되어도 소인수의 종류를 묻는다면 한 번씩만 적는다. 반대로 소인수분해를 묻는다면 2×2×3×5 또는 2²×3×5처럼 반복 횟수를 포함해야 한다.
학생은 답을 고친 뒤에도 2×2×3×5를 다시 계산해 60이 되는지만 확인하고 문제를 끝내기 쉽다. 그러나 이 검산은 곱셈 결과만 확인할 뿐, 질문이 ‘소인수’였는지 ‘소인수분해’였는지는 확인하지 못한다. 따라서 계산 검산과 조건 검산을 따로 해야 한다.
막힌 부분을 ‘모르겠다’ 대신 한 문장으로 바꾸기
소인수 찾기에서 틀렸을 때 학생이 60 전체를 처음부터 다시 공부하려는 경우가 있다. 실제 막힘은 초등 단계의 나눗셈 계산, 소수 판별, 곱셈 중 하나일 수 있는데 이를 구별하지 못하면 현재 중1 진도까지 멈춘다.
예를 들어 84를 소인수분해하다가 84÷2=42, 42÷2=21까지 쓴 뒤 21에서 멈췄다고 하자. 이때 “소인수분해를 모르겠다”가 아니라 다음 중 하나로 질문을 바꾼다.
- 21을 3과 7로 나누어도 되는지 모르겠다.
- 7이 소수인지 확인하는 방법이 헷갈린다.
- 2×2×3×7을 계산했을 때 84가 되는지 검산하고 싶다.
- 소인수 목록과 소인수분해 결과 중 무엇을 답해야 하는지 모르겠다.
질문이 이렇게 구체화되면 관련된 선수 개념만 짧게 복구할 수 있다. 21의 약수를 확인해 3×7을 찾고, 3과 7이 소수인지 확인한 뒤 바로 84의 분해로 돌아온다. 소수와 합성수 전체 단원을 다시 시작하는 것이 아니라 현재 식을 막은 부분만 두 문제 정도 확인하는 방식이다.
계산보다 먼저 적는 소인수분해 절차
학생이 문제를 보자마자 84의 약수를 무작정 나열하지 않도록 다음 순서를 고정해 적는다.
- 가장 작은 소수 2로 나누어지는지 확인한다.
- 계속 나누어지는 동안 2를 반복해 적는다.
- 더 이상 2로 나누어지지 않으면 3, 5, 7 순서로 확인한다.
- 마지막 수가 소수인지 확인하고 멈춘다.
- 분해 결과를 곱해 원래 수가 되는지 확인한다.
- 문제가 요구한 것이 소인수 목록인지 소인수분해인지 답의 형태를 다시 본다.
84의 경우에는 84=2×42=2×2×21=2×2×3×7이다. 따라서 소인수분해는 2²×3×7, 소인수는 2, 3, 7이다. 여기서 2²을 2×2로 풀어 쓸 수는 있지만, 2² 자체가 2와 2라는 두 종류의 소인수를 뜻하는 것은 아니다. 지수는 같은 소수가 몇 번 곱해졌는지를 나타낸다.
익숙한 문제를 반복하는 습관을 바꾸는 훈련
시험 직전에는 이미 맞힌 12, 18, 24 같은 문제를 계속 풀고, 60이나 90처럼 소인수가 여러 개 섞인 문제는 뒤로 미루는 행동이 나타날 수 있다. 이때 문제 수를 무작정 늘리기보다 세 칸으로 나눈다.
- 바로 풀 수 있는 문제: 소인수분해와 답의 종류까지 정확히 구분한 문제
- 보류 문제: 분해 과정은 시작했지만 어느 소수로 계속 나눌지 멈춘 문제
- 검산 문제: 계산 결과는 맞지만 원래 조건과 답의 형식을 확인하지 않은 문제
보류 문제에는 별표만 하지 않고 “21에서 3으로 나누는지 확인”처럼 다음 행동을 적는다. 도움을 요청할 때도 문제 전체를 내미는 대신 “90을 2로 두 번 나눈 뒤 45에서 3을 선택하는 이유를 모르겠다”고 말한다. 피곤한 날에는 고난도 문제의 양을 유지하는 대신, 한 문제를 분해하고 소인수 목록·분해식·곱셈 검산을 정확히 끝내는 쪽으로 기준을 바꾼다.
다음 날에는 숫자와 질문을 바꿔 확인한다
같은 84를 바로 다시 맞히는 것은 풀이를 기억했는지만 보여 줄 수 있다. 다음 날에는 72, 90, 105처럼 다른 수를 제시하고 질문도 바꾼다.
- 72의 소인수분해를 지수로 나타내기: 72=2³×3²
- 90의 소인수를 중복 없이 쓰기: 2, 3, 5
- 105를 소인수의 곱으로 나타내기: 3×5×7
- 2²×3×5의 원래 수를 계산하고 소인수를 함께 쓰기: 60, 소인수는 2, 3, 5
이때 숫자만 바꾸는 데서 끝내지 않고 “소인수분해하시오”, “소인수를 모두 쓰시오”, “곱으로 나타내시오”처럼 조건의 표현도 바꾼다. 학생이 답을 쓰기 전에 질문의 동사를 표시하고, 계산을 마친 뒤에는 원래 수 검산과 답 형식 검산을 각각 체크한다.
일주일 뒤에는 제한 시간을 두고 60, 72, 90 세 문제를 섞어 제시한다. 먼저 소인수분해를 끝내고, 마지막 1분에는 계산 결과가 원래 수와 같은지, 소인수를 중복해 쓰지 않았는지, 지수 표현을 요구했는지를 확인한다. 도움 없이 새로운 수에서 같은 절차를 시작하고 질문에 맞는 형태로 답한다면, 관련 초등 계산 복구를 더 늘리지 않고 다음 학습으로 넘어갈 수 있다.
강북구에는 강북중학교, 번동중학교, 삼각산중학교, 서라벌중학교, 성암여자중학교, 솔샘중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이를 미아동·수유동·우이동이나 번동주공1단지·번동주공3단지의 모든 학생에게 동일한 통학·시험 환경으로 일반화할 수는 없다. 다만 통학과 과제, 시험 준비 시간이 달라질 수 있는 만큼 소인수분해 학습에서도 쉬운 문제 반복과 보류 문제 해결, 검산 시간의 배분을 실제 일정에 맞춰 조정하는 것이 필요하다.