수유동중3수학과외, 근호의 나눗셈을 변형 문제에서도 적용하는 연습
√72 ÷ √2에서 멈추는 이유는 계산보다 식의 형태에 있다
수유동의 한 중3 학생은 다음 식을 보고 곧바로 “근호 안의 수를 나눌 수 없어요”라고 말했다.
√72 ÷ √2
학생이 적은 답은 √70이었다. 72와 2를 뺀 것이 아니라 나눗셈 상황에서 근호 안의 수를 단순히 처리하려다 생긴 오답이었다. 근호의 나눗셈에서는 먼저 두 근호를 하나의 분수로 묶어 생각해야 한다.
√72 ÷ √2 = √(72/2) = √36 = 6
이 과정에서 중요한 것은 √a ÷ √b = √(a/b)가 성립하는 조건을 확인하는 것이다. 여기서는 a가 72, b가 2이고 분모가 0이 아니므로 식을 합칠 수 있다. 학생에게 “근호끼리 나누면 안 된다”라고 외우게 하는 대신, 나눗셈 기호를 분수로 바꾸고 근호 안의 분수로 정리하게 했다.
분모를 먼저 확인하지 않으면 약분 순서가 흔들린다
학생은 √18/√2를 보고 √9라고 쓰기는 했다. 결과는 맞지만, 왜 3이 되는지 설명하지 못했다. 또 다른 문제에서는 다음과 같이 분모의 근호를 그대로 남겼다.
√12 ÷ √3 = √(12/3) = √4 = 2
이 식은 계산 결과가 정확하다. 다만 답안에 √4를 그대로 두고 끝내면 아직 근호를 간단히 한 상태가 아니다. 수유동중3수학과외에서는 학생이 마지막 단계에서 “근호 안의 수가 완전제곱수인지 확인했는가”를 말하도록 한다. 4는 2²이므로 √4=2라고 정리해야 한다.
반대로 √5 ÷ √2처럼 근호 안의 수가 바로 나누어지지 않는 경우에는 다음처럼 쓴다.
√5 ÷ √2 = √(5/2) = √10/2
처음부터 √(5/2)를 정답으로 단정하지 않고, 분모에 근호가 남아 있으면 유리화한다. 분자와 분모에 √2를 곱하면 √10/2가 된다. 학생이 자주 하는 오류는 분모만 √2에서 2로 바꾸는 것이다. 분모를 유리화할 때에는 분자와 분모에 같은 수를 곱해야 값이 변하지 않는다.
√12/√3과 √5/√2는 같은 방식으로 시작하지만 끝이 다르다
두 식 모두 먼저 근호를 하나로 묶는다.
- √12/√3 = √(12/3) = √4 = 2
- √5/√2 = √(5/2) = √10/2
학생은 첫 번째 식을 해결한 뒤 두 번째 식에서도 근호 안의 분수를 무조건 정수로 만들려고 했다. 그러나 5/2는 정수가 아니므로 억지로 계산할 수 없다. 이때 필요한 행동은 “나누어지는지 확인한 뒤, 안 되면 유리화한다”는 순서를 지키는 것이다. 숫자가 달라졌을 때도 같은 답을 기억하는 것이 아니라 첫 단계와 다음 판단을 다시 꺼내야 한다.
분수 형태와 곱셈 형태를 서로 바꾸어 읽기
근호의 나눗셈은 분수로만 제시되지 않는다. 다음과 같이 분모가 근호인 곱셈식으로 나타나기도 한다.
6/√3
학생은 이 식을 보고 6/3이라고 적었다. √3을 3으로 바꾼 것이다. 정확한 처리는 다음과 같다.
6/√3 × √3/√3 = 6√3/3 = 2√3
이때 6을 먼저 √3으로 나누려고 하지 않고, 분모의 근호를 없애는 유리화부터 실행한다. 같은 원리를 활용하면 √18/√2도 √(18/2)=√9=3으로 계산할 수 있다. 표현은 다르지만 분모에 근호가 있다는 공통점을 찾아야 한다.
수업에서는 학생에게 “이 문제는 근호를 합칠 수 있는가, 아니면 분모를 유리화해야 하는가”를 먼저 표시하게 했다. √18/√2처럼 근호 안에서 나누어지는 식은 합친 뒤 정리하고, 6/√3처럼 근호가 분모에 단독으로 남은 식은 유리화를 우선한다. 두 방법은 서로 배척되는 규칙이 아니라 식의 형태에 따라 선택하는 절차다.
귀가 뒤 과제 순서를 근호의 나눗셈 점검과 연결하기
수유동에는 강북중학교, 수유중학교, 인수중학교, 화계중학교가 있으며, 같은 강북구의 번동중학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 세부 시험 경향을 확인되지 않은 채 단정하기보다, 학부모는 자녀가 귀가한 시각과 과제량을 먼저 확인하고 근호 단원에서 어떤 유형을 먼저 점검할지 정하는 편이 실질적이다. 생활권 자료에서 특정 역이나 아파트·상권명은 확인되지 않았으므로 이를 학습환경의 근거로 사용하지 않는다.
예를 들어 귀가 후 시간이 짧은 날에는 문제 수를 늘리기보다 다음 세 식을 풀이 순서와 함께 확인할 수 있다.
- √50 ÷ √2
- √7 ÷ √3
- 10/√5
첫 번째 식은 √(50/2)=√25=5이다. 두 번째 식은 √(7/3)로 묶은 뒤 √21/3으로 유리화한다. 세 번째 식은 10√5/5=2√5가 된다. 세 식의 숫자만 비교하지 말고, 학생이 분모와 나눗셈 기호를 어떻게 처리했는지 확인해야 한다. 과제량이 많은 날에는 세 문제를 모두 새로 풀게 하기보다, 틀린 한 문제에서 잘못된 줄에 표시하고 같은 구조의 변형 한 문제만 독립적으로 풀게 할 수 있다.
새 숫자와 다른 표현에서 첫 행동을 다시 꺼내는지 확인한다
다음 시간에는 앞서 풀었던 √72 ÷ √2를 그대로 재출제하지 않고 조건을 바꾸었다.
√98 ÷ √2
학생은 이번에는 나눗셈을 분수로 바꾸고 √(98/2)=√49=7이라고 풀이했다. 단순히 답 6을 기억한 것이 아니라, 근호를 합친 뒤 완전제곱수를 확인하는 순서를 사용한 것이다.
이어서 형태를 바꾸어 다음 문제를 제시했다.
14/√7
학생이 14/7이라고 쓰지 않고 14√7/7=2√7로 유리화했다면, 근호의 나눗셈을 새로운 표현에도 적용한 것으로 볼 수 있다. 마지막에는 결과를 제곱해 확인하게 했다. (2√7)²=4×7=28이고, 원래 식 14/√7을 제곱하면 196/7=28이므로 계산이 일치한다. 같은 문제의 정답을 다시 말하는 것이 아니라, 숫자와 식의 모양이 달라져도 분모 확인, 근호 결합, 유리화, 검산의 순서를 스스로 선택하는지가 독립 적용의 기준이다.