수유동중1수학과외, 소인수를 찾을 때 부호와 절댓값을 따로 처리하는 연습
“−24의 소인수는 −2와 3이에요.” 한 중1 학생이 이렇게 답한 뒤, “(−24)÷(−2)”와 “−(24÷2)”를 같은 방식으로 계산했다. 이 장면에서는 소인수를 찾는 절차와 정수의 부호를 계산하는 절차가 한꺼번에 섞여 있었다. 수유동중1수학과외에서는 먼저 절댓값에서 소인수를 찾고, 마지막에 원래 수의 부호를 확인하는 방식으로 두 과정을 분리한다.
소인수와 음수의 부호를 한 번에 판단하지 않기
소수는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신뿐인 수다. 따라서 소인수분해는 일반적으로 자연수의 절댓값을 대상으로 진행한다. 예를 들어 −60을 소인수의 곱으로 나타낼 때는 먼저
60＝2×2×3×5＝2²×3×5
로 분해한 다음, 원래 수가 음수였다는 사실을 앞에 반영하여
−60＝−(2²×3×5)
와 같이 적을 수 있다. 여기서 −2를 소인수라고 적는 것이 아니라, 소인수분해한 곱 전체에 음수 부호를 붙이는 것이 핵심이다.
학생이 자주 하는 실수는 −60에서 음수 기호를 먼저 아무 소인수에 붙여 −2×2×3×5처럼 적거나, 절댓값을 취한 뒤 원래 부호를 다시 확인하지 않는 것이다. 두 경우 모두 소인수를 찾는 일과 부호 결정이 섞인 결과다.
풀이를 두 줄로 나누는 기준
−84의 소인수분해를 할 때는 다음 순서를 고정한다.
- 1단계: 절댓값을 확인한다. |−84|＝84
- 2단계: 84를 소인수분해한다. 84＝2×2×3×7＝2²×3×7
- 3단계: 원래 수의 부호를 되돌린다. −84＝−(2²×3×7)
이때 “−84의 소인수는 2, 3, 7이고, 소인수분해한 전체 값은 −(2²×3×7)”이라고 구분해 말하면 개념이 안정된다. 절댓값 계산은 수의 크기만 확인하는 단계이고, 부호 결정은 원래 수가 양수인지 음수인지 확인하는 단계다.
괄호가 들어간 계산에서 분해 결과를 바로 계산하지 않기
소인수분해 결과를 이용한 계산에서는 괄호가 추가될 때 실수가 늘어난다. 예를 들어 다음 식을 보자.
−(2²×3)÷(−6)
학생이 “앞에 마이너스가 있으니 전체가 음수”라고 판단하면 틀린다. 먼저 괄호 안의 크기와 부호를 따로 확인한다.
- 2²×3＝4×3＝12
- −(2²×3)＝−12
- −12÷(−6)＝2
음수를 음수로 나누었으므로 최종 부호는 양수이고, 절댓값 계산은 12÷6＝2이다. 즉 부호는 부호끼리, 절댓값은 절댓값끼리 처리한다.
반대로
(−2)²×3
은 −(2²×3)과 다르다. 괄호 안의 −2 전체가 제곱되므로 (−2)²＝4이고, 결과는 12다. 그러나
−2²×3
은 일반적인 연산 순서에서 제곱을 먼저 계산하여 −(2²)×3＝−12가 된다. 괄호의 위치를 표시하지 않고 부호만 보고 계산하면 같은 숫자라도 결과가 달라진다.
한 중1 학생의 풀이를 고치는 과정
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학생은 −72를 보고 “−72＝−2³×3²”라고 쓴 뒤, 문제에 (−72)÷(−8)이 나오자 −2³을 하나의 음수 소인수처럼 취급했다. 계산 결과는 우연히 맞았지만, 중간식이 없어 어느 단계에서 부호를 결정했는지 설명하지 못했다.
이때 답을 다시 쓰게 하기보다 풀이 칸을 세 부분으로 나눈다.
- 절댓값: |−72|＝72＝2³×3²
- 원래 부호 반영: −72＝−(2³×3²)
- 계산과 검산: (−72)÷(−8)＝9
마지막 줄은 역산으로 확인한다. 9×(−8)＝−72이므로 나눗셈 결과가 원래 피제수와 맞는다. 이처럼 중간식을 남기면 답이 틀렸을 때 소인수분해 오류인지, 부호 오류인지, 괄호 처리 오류인지 구별할 수 있다.
자료를 덮고 재현하는 확인 방법
교과서와 학교 프린트를 동시에 펼쳐 놓으면 풀이 모양을 베껴 쓸 수 있으므로, 한 자료의 예시를 확인한 뒤 자료를 덮고 다음 문제를 재현한다. 처음에는 −96, −150처럼 숫자만 바꾸고, 다음에는 괄호를 바꾼다.
(−2)³×3×5와 −(2³×3×5)의 부호와 값 비교
첫 번째 식은 (−2)³＝−8이므로 −120이고, 두 번째 식도 −(8×3×5)＝−120이다. 결과는 같지만 부호가 결정되는 위치가 다르다. 이후 지수의 짝수를 바꾸어
(−2)⁴×3×5＝240
을 제시하면, 괄호 안 음수가 짝수 번 곱해져 양수가 된다는 점을 독립적으로 확인할 수 있다.
다음 날과 일주일 뒤의 재확인
같은 문제를 바로 다시 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 다음 날에는 −180을 절댓값으로 바꾸어 소인수분해하게 한다.
|−180|＝180＝2²×3²×5, 따라서 −180＝−(2²×3²×5)
일주일 뒤에는 숫자와 괄호를 함께 바꾼다.
−(2²×3²×5)÷(−30)
절댓값 계산은 180÷30＝6, 음수÷음수는 양수이므로 답은 6이다. 학생이 소인수를 찾은 뒤 원래 부호를 복원하고, 괄호와 연산 순서를 확인하며, 마지막에 역산까지 할 수 있다면 이 주제의 학습이 실제로 독립 적용된 것으로 볼 수 있다.
수유동 학습 점검에서 볼 부분
수유동에는 강북중학교, 수유중학교, 인수중학교, 화계중학교가 있고 같은 강북구의 참고 학교로 번동중학교가 있다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다 귀가 후 과제 시작 시각과 학교 프린트 확인 순서를 살피는 편이 현실적이다. 소인수분해 문제가 포함된 학습지에서는 정답만 확인하지 말고 절댓값 줄, 부호 줄, 괄호 계산 줄이 각각 남아 있는지 점검하면 된다.