미아동중1수학과외, 처음 보는 수에서도 소인수 조건을 놓치지 않는 연습
“84의 소인수 중 3보다 큰 수를 모두 구하시오.”
이 문제에서 답을 바로 쓰려던 중1 학생은 84를 2×42로 나눈 뒤, 42를 2×21로 바꾸고는 2, 3, 7을 적었습니다. 소인수를 찾는 과정 자체는 진행했지만 ‘3보다 큰 수’라는 조건을 끝까지 확인하지 않아 2와 3까지 답에 포함한 것입니다. 반대로 2×2×3×7까지 정확히 분해하고도 문제에서 요구한 ‘소인수’가 아니라 소인수분해식 전체를 답으로 제출하는 경우도 있습니다.
미아동중1수학과외에서 소인수분해를 다룰 때는 숫자를 빨리 나누는 것보다 문제의 요구를 식 옆에 짧게 붙이는 행동부터 확인할 필요가 있습니다. 예를 들어 문제를 읽은 직후 ‘소인수만’, ‘3보다 큰 수’, ‘서로 다른 수’처럼 조건을 간단히 적습니다. 이 한 줄이 있으면 계산 과정과 최종 답을 확인하는 기준이 분명해집니다.
숫자를 바꾸면 멈추는 이유
초등학교에서는 익숙한 수의 약수나 배수를 빠르게 찾는 방식으로 문제를 해결했지만, 중1 소인수분해에서는 처음 보는 수를 작은 소수로 나누고 그 결과를 다시 판단해야 합니다. 60, 72처럼 자주 보던 수는 2와 3을 쉽게 떠올리면서도 126, 154, 225처럼 숫자가 바뀌면 어디서 시작해야 할지 멈추는 학생이 있습니다.
이때 모든 소수를 무작정 대입하지 않습니다. 짝수이면 2로 나누고, 각 자리 숫자의 합이 3의 배수이면 3으로 나누며, 끝자리가 0 또는 5이면 5를 먼저 확인합니다. 예를 들어 126은 짝수이므로 126=2×63, 63은 3의 배수이므로 63=3×21, 21=3×7입니다. 따라서 126=2×3×3×7이고, 소인수는 2, 3, 7입니다. 소인수분해식과 소인수 목록을 구별해 적어야 합니다.
식 옆에 조건을 붙이는 실제 풀이
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 다음 문제에서 처음에는 180을 2×90으로만 적고 이후 계산을 머릿속으로 처리했습니다.
180의 소인수를 모두 구하고, 그중 홀수인 소인수의 합을 구하여라.
수정한 풀이에서는 문제 옆에 ‘소인수 목록 → 홀수만 선택 → 합’이라고 적습니다.
180=2×90=2×2×45=2×2×3×15=2×2×3×3×5
소인수 목록은 2, 3, 5이고, 홀수인 소인수는 3과 5입니다. 그러므로 합은 3+5=8입니다. 여기서 2와 3을 여러 번 곱한 횟수는 소인수의 종류를 묻는 문제에서는 다시 중복해 적지 않습니다. 반면 ‘소인수분해식을 구하라’고 했다면 2²×3²×5처럼 지수까지 나타내야 합니다.
학생이 직접 할 일은 세 단계입니다. 첫째, 문제에서 요구한 대상을 식 옆에 표시합니다. 둘째, 나눗셈을 한 줄씩 써서 마지막 몫이 1이 될 때까지 분해합니다. 셋째, 분해식에서 실제로 소수인 수만 골라 조건에 맞게 다시 정리합니다. ‘소인수’와 ‘약수’를 혼동하면 6이나 9를 답에 넣기도 하므로, 선택한 수가 1과 자기 자신으로만 나누어지는지도 확인합니다.
오답을 ‘계산 실수’로 묶지 않기
소인수 문제를 틀린 뒤 시험 후 기록에 ‘실수’라고만 적으면 같은 오류가 반복됩니다. 오답 옆에 다음 중 하나를 표시합니다.
- 분해를 중간에 멈춤
- 합성수를 소인수로 착각함
- 소인수와 소인수분해식을 구분하지 못함
- 홀수, 3보다 큰 수, 서로 다른 수 같은 조건을 누락함
- 새 숫자를 보고 나눌 소수를 정하지 못함
예를 들어 225를 3×75=3×3×25=3×3×5×5로 분해한 뒤 ‘서로 다른 소인수의 합’을 구한다면 3+5=8입니다. 3과 5를 각각 두 번씩 더해 16으로 쓰면 분해식의 반복 횟수와 서로 다른 종류를 구별하지 못한 것입니다. 이 오답은 계산 능력보다 조건 해석을 먼저 훈련해야 한다는 신호입니다.
같은 숫자를 다시 풀지 않고 확인하는 방법
연습에서는 84를 맞힌 직후 끝내지 않고 조건과 숫자를 바꿉니다. 먼저 84를 90으로 바꾸고 ‘소인수 중 5보다 큰 수’를 묻습니다. 90=2×3²×5이므로 5보다 큰 소인수는 없습니다. 답이 없을 수도 있다는 점을 확인해야 합니다.
다음에는 154를 제시합니다. 154=2×77=2×7×11이므로 ‘홀수인 소인수의 합’은 7+11=18입니다. 이어 ‘소인수분해식’을 요구하면 2×7×11을 그대로 쓰고, ‘서로 다른 소인수의 개수’를 요구하면 3이라고 답해야 합니다. 숫자와 조건을 함께 바꾸었을 때도 문제 옆 표시, 단계별 분해, 조건에 맞춘 추출 순서를 독립적으로 수행하는지 봅니다.
시간 제한 연습에서는 정답 개수만 재지 않습니다. 문제를 읽고 조건을 짧게 적었는지, 분해 과정을 생략하지 않았는지, 마지막 답이 요구 대상과 일치하는지를 먼저 확인합니다. 학교 시험범위 안의 소인수 문제에서 이 과정이 안정된 뒤 새로운 유형으로 넘어가야 하며, 다음 날에는 숫자만 바꾼 문제를 다시 풀고 일주일 뒤에는 조건을 바꾼 문제로 재확인하는 방식이 적절합니다.
미아동에는 삼각산중학교, 성암여자중학교, 솔샘중학교, 신일중학교, 영훈국제중학교가 있으며, 학교별 시험 문제를 임의로 단정하기보다 실제 학교 프린트와 시험범위의 소인수 조건 문제를 기준으로 귀가 후 풀이 순서를 점검하는 것이 현실적입니다. 핵심은 익숙한 숫자를 많이 외우는 것이 아니라 처음 보는 수에서도 조건을 읽고, 분해하고, 요구된 답만 골라 쓰는 흐름을 유지하는 데 있습니다.