천호동중3수학과외, 숫자와 부호가 바뀌어도 근호의 곱셈 적용하기
학생이 학교 프린트의 √6 × √15를 보고 곧바로 √90이라고 쓴 뒤 멈춘 장면이 있었다. 계산 방향 자체는 맞았지만, 결과를 가장 간단한 근호로 정리하지 않아 답안은 완성되지 않았다. 반대로 √6 × √15를 √21로 적은 경우도 있었다. 근호 안의 수를 더하는 것과 곱하는 것을 혼동한 것이다.
√a×√b를 하나의 근호로 묶는 과정부터 확인하기
근호의 곱셈에서 먼저 확인할 식은
√a × √b = √(ab)
이다. 따라서 √6 × √15는 근호 안의 수를 곱하여 √90이 된다. 여기서 풀이가 끝나지 않는 이유는 90 안에 완전제곱수 9가 포함되어 있기 때문이다.
√90 = √(9×10) = 3√10
학생에게는 근호 밖의 수와 안의 수를 섞지 않도록, 곱셈 직후에 완전제곱수를 찾게 했다. 처음부터 6과 15를 소인수분해하라고 길게 요구하기보다, 90을 9×10으로 나누는 한 줄을 직접 표시하게 한 것이다. 이 과정을 거치면 √21처럼 근호 안을 더하는 오답과, √90에서 멈추는 미완성 풀이를 동시에 줄일 수 있다.
마이너스 부호는 근호 계산과 별도로 먼저 처리한다
다음 문제에서 학생은 -√8 × √2를 보고 -√16까지는 적었지만, 마지막에 -4를 4로 바꾸었다. 근호 안의 곱셈은 √8 × √2 = √16 = 4로 처리하지만, 식 앞의 음수는 그대로 남는다.
-√8 × √2 = -(√8 × √2) = -√16 = -4
수정할 때는 숫자 계산과 부호 확인을 한꺼번에 하지 않았다. 학생이 먼저 음수를 괄호로 묶어 -(√8 × √2)라고 다시 쓴 뒤, 근호만 계산하도록 했다. 마지막 줄에서 원래 식의 부호와 답의 부호를 대조하게 하자, 근호 안에서 제곱이 만들어졌다는 이유로 전체 답을 양수로 바꾸는 행동이 사라졌다.
표현이 달라져도 같은 곱셈 원리를 꺼내는 연습
학교 문제는 항상 단순한 두 근호의 곱으로만 제시되지 않는다. 예를 들어
2√3 × 5√6
에서는 근호 안의 수만 곱한다고 생각하면 안 된다. 근호 밖의 계수끼리 먼저 곱하고, 근호 안의 수끼리 곱한다.
2√3 × 5√6 = 10√18 = 10×3√2 = 30√2
학생은 처음에 10√9라고 적었다. 3과 6을 곱해야 하는데 3을 제곱수처럼 처리한 것이다. 이때 단순히 정답을 보여주지 않고, 식을 계수와 근호 부분으로 나누어 표시했다.
(2×5)(√3×√6) = 10√18
그 다음 18을 9×2로 바꾸어 30√2를 얻었다. 근호 밖 계수, 근호 안의 곱, 완전제곱수 추출이라는 세 위치를 구분하면 표현이 길어져도 같은 원리를 유지할 수 있다.
근호 밖의 수는 밖의 수끼리, 근호 안의 수는 안의 수끼리 곱한 뒤 완전제곱수를 밖으로 꺼낸다.
분수와 문자 표현에서도 먼저 곱셈 구조를 읽는다
숫자 대신 분수가 들어간 문제에서는 학생이 분모를 빠뜨리기 쉽다. 예를 들어
√(2/3) × √(6/5) = √(12/15) = √(4/5) = 2/√5
처럼 근호 안의 분수 전체를 곱한다. 다만 이 식을 2/5로 바꾸어 쓰면 안 된다. 근호가 분자와 분모에 함께 영향을 주기 때문이다. 학교에서 분모에 근호가 남지 않도록 요구하는 경우에는
2/√5 = 2√5/5
로 정리할 수 있다. 이 과정은 근호의 곱셈 원리를 적용한 뒤 답의 표현을 정돈하는 단계이므로, 앞의 곱셈과 뒤의 정리를 구분해 기록하게 했다.
천호동에서 일정을 잡을 때는 동신중학교, 성덕여자중학교, 천일중학교, 천호중학교의 실제 시험 범위와 수행평가 일정을 먼저 확인하고, 평일 귀가 시간을 기준으로 한 번에 다루는 근호 문제의 양을 조절하는 방식이 적합하다. 천호우성아파트 인근이나 천호로데오, 문구거리 주변에서 이동하는 학생이라도 귀가 후 확보되는 시간이 다를 수 있으므로, 같은 진도를 정해 놓기보다 학교 프린트의 근호 곱셈 문항을 기준으로 풀이 기록을 남기게 한다. 강동중학교는 같은 강동구 내 참고 학교로 볼 수 있지만 천호동 소재 학교로 단정하지 않고, 해당 학생의 학교 자료와 분리해 활용한다.
정답을 외우지 않고 바뀐 조건에서 확인하기
수업 뒤에는 앞의 √6 × √15를 그대로 다시 풀게 하지 않았다. 계수와 부호를 바꾼
-3√5 × 2√20
을 제시했다. 학생은 처음에 계수만 계산하여 -6√25를 적었고, 이번에는 스스로 근호 안의 곱을 따로 확인했다.
-3√5 × 2√20 = -6√100 = -6×10 = -60
이 문제에서는 결과가 정수가 되므로 -60√1처럼 남기지 않는지도 확인했다. 이어서 순서를 바꾼 √20 × (-2√5) × 3을 풀게 했을 때에는 음수와 계수를 먼저 모아 -6√100을 만들었다. 숫자와 배열이 바뀌었지만, 근호 밖과 안을 나누고 완전제곱수를 추출하는 첫 행동을 도움 없이 다시 꺼낸 것이다.
근호의 곱셈을 이해했는지는 비슷한 식을 여러 번 맞히는지보다, 부호가 앞에 붙거나 계수가 함께 나오고 근호 안의 수가 완전제곱수를 포함할 때도 같은 구조를 설명하는지로 확인한다. 풀이 마지막에는 결과를 다시 제곱해 원래 곱과 맞는지 대조하게 했다. 예를 들어 3√10은 제곱하면 90이므로, √90과 같은 값이라는 검산까지 말할 수 있어야 한다.