암사동중3수학과외, 근호의 곱셈을 근거와 검산으로 완성하기
√12×√3에서 계산보다 먼저 확인할 것
학생이 학교 프린트의 √12×√3을 보고 곧바로 “√36=6”이라고 적었다면 답은 맞지만 풀이가 끝난 것은 아니다. 왜 두 근호를 하나로 묶을 수 있는지, 곱한 뒤 근호를 정리한 과정이 타당한지 설명할 수 있어야 숫자가 바뀐 문제에서도 같은 방법을 꺼낼 수 있다.
근호의 곱셈에서는 양의 수 a, b에 대하여 √a×√b=√(ab)를 사용한다. 따라서
√12×√3=√(12×3)=√36=6
으로 정리한다. 여기서 마지막 결과가 6인 이유는 36이 완전제곱수이기 때문이다. 학생이 중간의 √(12×3)을 생략하고 답만 쓰면, 계산 결과가 우연히 맞았는지 근호의 곱셈 성질을 적용한 것인지 확인하기 어렵다.
맞는 답 뒤에 남아 있던 빈칸
암사동에서 중3 수학을 지도할 때는 정답 개수만 보지 않고 학생이 식의 어느 줄에서 멈추는지 살핀다. 예를 들어 학생이 √8×√2=√16=4까지는 정확히 썼지만, “왜 8과 2를 곱했나요?”라는 질문에 “근호는 그냥 안에 있는 수끼리 곱해요”라고 답한다면 개념 설명은 아직 불완전하다.
이때 ‘근호는 무조건 안의 수를 곱한다’고 외우게 하지 않는다. √8과 √2처럼 곱셈으로 연결된 두 제곱근에 곱셈 성질을 적용한 것이라고 말하게 한다. 덧셈에서는 같은 근호끼리만 묶을 수 있지만, 곱셈에서는 근호 안의 수를 곱할 수 있다는 차이도 현재 문제에 필요한 만큼만 확인한다.
√8×√2와 √8+√2를 나란히 놓기
두 식을 같은 방식으로 처리하면 안 된다.
√8×√2=√16=4
√8+√2는 같은 근호가 아니므로 √10으로 바꾸지 않는다.
학생이 두 번째 식까지 √10이라고 적었다면, 곱셈 공식을 잘못된 상황에 확장한 것이다. 수정할 때는 계산을 더 시키기보다 식의 연산기호에 동그라미를 치게 한다. 곱셈인지 덧셈인지 먼저 확인한 뒤, 곱셈일 때만 √a×√b=√ab를 꺼내도록 풀이 순서를 바꾼다.
근호 밖의 수를 함께 곱할 때 생기는 부호 오류
다음 문제에서 학생이 자주 멈추는 지점은 근호 앞의 계수다.
3√5×2√10
학생이 근호 안의 5와 10만 곱해 √50이라고 쓰면, 밖의 3과 2를 빠뜨린 것이다. 먼저 근호 밖과 안을 나누어 표시한다.
3√5×2√10=(3×2)√(5×10)=6√50=6√(25×2)=30√2
또는 √5×√10=√50을 계산한 뒤 6을 곱해도 된다. 어느 방법을 택하든 근호 밖의 계수와 안의 수를 각각 처리해야 하며, 최종적으로 √50 안의 완전제곱수 25를 꺼내야 한다.
이 과정에서 학생이 6√50=6×25√2=150√2라고 적는 경우도 있다. √50=5√2이지 25√2가 아니다. 수정 행동은 완전제곱수의 제곱근을 한 번 직접 계산하는 것이다. √50=√(25×2)=√25×√2=5√2를 써서 25가 근호 밖으로 나올 때 제곱근을 취한다는 점을 확인한다.
검산은 원래 식으로 되돌아가는 방식으로
근호의 곱셈은 결과만 보고 맞았다고 판단하기보다 양변을 제곱하거나 근삿값으로 비교할 수 있다. 3√5×2√10=30√2의 경우 양변을 제곱하면 왼쪽은
(3√5×2√10)²=9×5×4×10=1800
이고 오른쪽은
(30√2)²=900×2=1800
이다. 같은 값이므로 정리 결과를 확인할 수 있다. 매번 긴 검산을 요구하기보다, 계수를 빠뜨렸거나 완전제곱수를 잘못 꺼낸 문제에서만 원래 식과 결과를 제곱해 비교하게 한다. 간단한 문제에서는 √12×√3의 양변을 계산해 6×6=36인지 확인하는 방식도 충분하다.
암사동 학교 일정에 맞춘 짧은 풀이 기록
암사동 지역 내 중학교로 확인된 강일중학교와 신암중학교의 시험 범위 및 수행평가 일정은 실제 학교 안내를 기준으로 따로 확인해야 한다. 같은 강동구의 강동중학교·강명중학교·강빛중학교는 참고 학교이므로 암사동 소재 학교로 묶어 단정하지 않는다. 암사역선사현대아파트 등 생활권에서 이동하는 학생은 평일 귀가 시간과 학교별 평가 일정을 함께 놓고 근호 단원을 배치하는 편이 현실적이다.
귀가가 늦은 날에는 여러 문제를 풀기보다 한 문항의 풀이 줄을 정확히 기록한다. 예를 들어 4√6×√24를 다음처럼 정리한다.
4√6×√24=4√144=4×12=48
이후 학생은 ‘근호 밖 계수 4는 그대로 두고, √6과 √24를 곱해 √144를 만들었다. 144는 12²이므로 12가 나왔다’고 말한다. 다음 학습일에는 계수를 바꾸어 2√15×√60을 제시한다.
숫자가 바뀐 문제에서 첫 행동 확인하기
2√15×√60에서는 2√900=2×30=60이다. 이전 답을 기억해 적는 것이 아니라, 학생이 먼저 근호 앞의 2를 표시하고 두 근호를 곱한 뒤 완전제곱수로 분해하는지 본다. 만약 √(2×15×60)이라고 한 번에 묶더라도 결과는 같지만, 계수와 근호 부분을 구분해 설명할 수 있어야 부호나 계수가 달라진 문제에서도 오류를 줄일 수 있다.
마지막으로 학생에게 -√12×√3을 제시한다. 음수 부호는 근호 곱셈 공식 안으로 임의로 넣지 않고 앞에 둔다.
-√12×√3=-√36=-6
학생이 부호를 끝까지 유지하고, 곱셈 성질의 적용 이유와 완전제곱수 검산까지 도움 없이 말한다면 근호의 곱셈을 정답 암기가 아닌 풀이 근거로 적용하고 있는지 확인할 수 있다.