성내동중3수학과외, 근호의 곱셈에서 조건을 판별하는 풀이
√a·√b를 보자마자 곱하지 않는 이유
학생이 학교 프린트의 √12×√3을 보고 곧바로 √36=6이라고 썼다면 계산 결과만으로는 틀렸다고 하기 어렵다. 실제로 양의 수 12와 3에 대해서는 √12×√3=√36=6이 맞다. 하지만 같은 방식으로 √(-4)×√(-9)까지 계산하려 한다면 문제가 달라진다. 근호의 곱셈은 기호를 기계적으로 합치는 문제가 아니라, 먼저 근호 안의 수와 정의역 조건을 확인하는 과정이 포함된다.
성내동에서 중3 수학을 지도할 때도 성내중학교의 학교 수업 자료와 학생의 주간 일정은 각각 다르게 살펴볼 필요가 있다. 강동중학교, 강명중학교, 강빛중학교, 강일중학교는 같은 강동구의 통학권 참고 학교이지만 성내동 소재 학교로 묶어 단정하지 않는다. 성내삼성아파트나 성내동미주아파트 생활권에서 통학하는 학생이라도 시험 준비 시간과 오답을 정리하는 방식은 서로 다를 수 있다. 따라서 근호 단원에서는 진도보다 학생이 곱셈의 조건을 직접 말하고 식으로 확인하는지를 먼저 본다.
맞힌 계산 뒤에 빠진 한 문장
한 학생은 √8×√18을 다음과 같이 처리했다.
√8×√18=√144=12
답은 맞지만 풀이의 근거가 생략되어 있다. 중학교에서 사용하는 근호의 곱셈 성질은 보통 a≥0, b≥0일 때 √a×√b=√(ab)로 설명한다. 따라서 학생은 계산 전에 “두 근호 안의 수가 모두 0 이상이므로 곱셈 성질을 사용할 수 있다”고 확인해야 한다. 이 문제에서는 조건 확인 후 √(8×18)=√144=12로 정리하면 된다.
처음에는 조건을 쓰라고 하면 학생이 문제마다 장황한 설명을 붙이거나, 반대로 식만 다시 적었다. 그래서 풀이 첫 줄을 고정하지 않고 근호 안의 수에 먼저 표시하게 했다. 8≥0, 18≥0을 확인한 뒤 두 수를 곱하고, 마지막에는 결과를 제곱하여 원래 식과 비교한다. 12²=144이므로 계산 결과가 √144와 일치한다.
근호 밖의 계수와 근호 안의 수를 분리하기
학생이 더 자주 멈춘 문항은 2√6×3√15였다. 첫 시도에서는 계수 2와 3을 그대로 둔 채 근호만 곱해 √90이라고 적었다. 근호의 곱셈에서 계수도 함께 곱해야 하므로 정확한 과정은 다음과 같다.
2√6×3√15=(2×3)√(6×15)=6√90=6√(9×10)=18√10
여기서 학생이 할 일은 ‘근호끼리만 계산하지 않기’와 ‘완전제곱수를 찾아 밖으로 꺼내기’다. 계수는 계수끼리, 근호는 근호끼리 묶은 다음 90=9×10으로 분해한다. √90=3√10이므로 앞의 6과 곱해 18√10이 된다. 마지막에 다시 제곱하면 (18√10)²=3240이고, 처음 식을 제곱해도 (2√6×3√15)²=4×6×9×15=3240이어서 결과를 검산할 수 있다.
음수가 보이면 같은 규칙을 바로 적용하지 않기
다음 오답은 계산보다 조건 판별의 문제를 잘 보여준다.
√(-5)×√(-20)=√100=10
실수 범위의 중학교 근호에서 √(-5)와 √(-20)은 정의되지 않는다. 따라서 두 근호를 합쳐 10이라고 할 수 없다. 학생에게는 ‘음수끼리 곱하면 양수’라는 정수 계산 규칙과 ‘각 근호가 먼저 실수로 정의되어야 한다’는 조건을 분리해서 말하게 했다. 확인 순서는 근호 안의 수가 각각 0 이상인지 살피고, 하나라도 음수이면 근호의 곱셈을 진행하지 않는 것이다.
반대로 √((-5)²)×√((-20)²)은 계산할 수 있다. 근호 안은 각각 25와 400이므로 √25×√400=5×20=100이다. 이때도 √(x²)=x라고 쓰지 않고 √(x²)=|x|라는 점을 확인해야 한다. 다만 이번 식의 결과에서는 √25=5, √400=20으로 바로 판단할 수 있다.
식을 바꿔도 첫 행동이 유지되는지 확인하기
같은 문제를 숫자만 바꾸어 다시 내는 방식으로는 학생이 답을 기억했는지 구별하기 어렵다. 그래서 다음에는 근호가 분수 형태로 제시된 문항을 사용했다.
√(3/5)×√(15/2)
학생은 먼저 분자와 분모가 모두 양수임을 확인하고 곱셈 성질을 적용했다.
√(3/5)×√(15/2)=√((3×15)/(5×2))=√(45/10)=√(9/2)=3√2/2
마지막 변형은 √(9/2)=√18/2=3√2/2로 확인할 수 있다. 학생이 이전처럼 근호 안의 수만 합치지 않고, 분수의 곱을 먼저 계산한 뒤 완전제곱수 9를 꺼냈다면 개념을 새로운 표현에 적용한 것이다.
성내동 중3 수학 과외에서 확인하는 풀이 기준
근호의 곱셈을 끝냈다고 판단하는 기준은 문제집의 예제를 몇 개 풀었는지가 아니다. 학생이 새 식을 받았을 때 먼저 근호 안의 수가 실수 범위에서 가능한지 확인하고, 근호 밖 계수를 따로 곱하며, 완전제곱수를 찾아 간단히 만든 뒤 결과를 검산하는지가 기준이다. 성내중학교 내신을 준비하든 강동구 내 참고 학교의 문제 형식을 접하든 이 순서는 숫자와 표현이 바뀌어도 유지되어야 한다.
수업 마지막에는 4√7×√28을 제시했다. 학생은 28≥0을 확인한 뒤 4√(7×28)=4√196=56으로 풀이했고, 56²=3136, 원식의 제곱도 16×7×28=3136이라고 검산했다. 정답을 다시 외운 것이 아니라 조건 확인부터 독립적으로 꺼내 썼는지를 이 장면에서 확인할 수 있다.