상일동중3수학과외, 근호 안의 완전제곱인수를 찾아 다시 적용하는 연습
학생은 학교 프린트의 √72를 보고 “72는 제곱수가 아니니까 더 줄일 수 없다”고 적었다. 계산기를 사용하지 않고 근호를 정리하는 문제였지만, √72를 하나의 수로만 바라보면서 안에 포함된 제곱수 36을 찾지 못한 것이다. 이 장면에서는 어려운 계산보다 근호 안의 수를 곱으로 분해하고, 그중 완전제곱인수를 골라내는 첫 행동이 중요하다.
√72를 그대로 두지 않고 36×2로 바라보기
72를 소인수분해하면 72=2×2×2×3이고, 이를 완전제곱수와 남는 수로 묶으면 72=36×2이다. 따라서
√72=√(36×2)=√36×√2=6√2
가 된다. 학생의 처음 답인 √72는 값 자체가 틀린 것은 아니지만, 문제에서 근호를 간단히 하라고 했다면 충분히 변형되지 않은 상태다. 여기서 “근호 안에 제곱수의 곱이 있는가?”라고 먼저 묻는 습관이 필요하다. 72가 제곱수인지 바로 판단하는 대신 4, 9, 16, 25, 36처럼 안에 들어갈 수 있는 가장 큰 완전제곱인수를 찾으면 풀이 방향이 선명해진다.
근호를 보면 먼저 완전제곱인수를 찾고, 그 수의 제곱근만 근호 밖으로 꺼낸다.
상일동의 상일중학교와 한영중학교처럼 지역 내 학교의 수학 학습 일정은 학교별 시험 범위와 주간 과제에 따라 달라질 수 있다. 상일동빌라단지나 상일주공5단지 생활권에서 통학하는 학생도 같은 시기에 같은 양의 문제를 푸는 것은 아니므로, 수업에서는 진도보다 실제 오답이 발생한 식을 기준으로 다음 행동을 정한다. 강동중학교·강명중학교·강빛중학교는 같은 강동구 내 참고 학교이지만 상일동 소재 학교와 구분해 살펴볼 필요가 있다.
완전제곱인수를 크게 잡는 과정에서 생기는 오류
비슷한 문제에서 학생은 √48을 4√3으로 정리했다. 48=16×3이므로 정확한 계산은 √48=4√3이다. 이 답은 맞지만, √18에서는 9×2를 선택해야 하며 √18=3√2가 된다. 반대로 √50을 5√2로 정리하는 과정에서 50=25×2라는 구조를 적지 않으면, 숫자를 외운 것처럼 답할 가능성이 있다.
수업 중에는 답만 고치지 않고 학생이 종이에 다음 줄을 먼저 쓰게 한다.
- √48: 48=16×3
- √18: 18=9×2
- √50: 50=25×2
그다음 완전제곱수의 제곱근을 밖으로 옮긴다. √(a²×b)=a√b라는 원리를 숫자에 대입하는 방식이다. 예를 들어 √200은 200=100×2이므로 10√2이고, √108은 108=36×3이므로 6√3이다. √200을 20√?처럼 잘못 옮기는 경우에는 밖으로 나온 수를 다시 제곱해 원래의 완전제곱인수와 일치하는지 확인하게 한다.
부호와 표현이 달라져도 같은 원리를 유지하기
근호 앞에 음수가 붙은 문제에서는 근호 안의 정리와 바깥 부호를 분리해야 한다. 예를 들어 -√80에서 음수까지 근호 안으로 넣어 -4√5라고 쓰거나, 부호를 빠뜨려 4√5라고 쓰면 안 된다. 80=16×5이므로 √80=4√5이고, 앞의 음수까지 포함한 결과는 -4√5이다.
또 √(9x²)처럼 문자가 들어간 식에서는 중3 과정에서 다루는 조건을 확인해야 한다. x가 양수라는 조건이 없다면 √(9x²)=3|x|로 나타내는 것이 정확하다. 단순히 3x라고 쓰려면 x≥0 같은 조건이 필요하다. 숫자만 있는 문제를 맞혔다고 해서 문자식도 자동으로 처리되는 것은 아니므로, 학생이 “제곱근 밖으로 나온 것은 원래 제곱된 묶음의 제곱근”이라고 말하게 한다.
그림이나 식의 제시 방식이 바뀐 문제에서 확인하기
다음 시간에는 근호식이 아니라 정사각형 넓이를 이용한 문제가 제시된다. 한 변의 길이가 √72인 정사각형의 넓이를 구하라는 문제에서 학생이 먼저 6√2를 적고, 넓이를 (6√2)²=72로 계산하면 표현을 바꿔도 원래 원리를 연결한 것이다. 반대로 넓이가 72인 정사각형의 한 변을 묻는 경우에는 √72=6√2를 사용한다. 구하는 대상이 넓이인지 길이인지 확인하지 않고 같은 식을 반복해서 쓰는지 살핀다.
이때 제곱근의 성질을 적용할 수 있는 부분과 없는 부분도 구별한다. √(36×2)는 √36×√2로 나눌 수 있지만, √(36+2)를 √36+√2로 바꿀 수는 없다. 학생은 처음에 √38을 6+√2로 적었고, 수정 과정에서 “곱으로 묶인 경우에만 곱셈 성질을 사용한다”고 표시했다. √(25×7)=5√7과 √(25+7)는 전혀 다른 형태라는 점을 식의 기호로 확인한 것이다.
새 숫자와 부호 앞에서 도움 없이 첫 줄 쓰기
독립 검증에서는 앞서 풀었던 √72를 다시 내지 않고 √288, -√125, √(144×5)를 제시했다. 학생은 √288에서 144×2를 찾아 12√2를 만들었고, -√125에서는 125=25×5를 적은 뒤 -5√5라고 답했다. 마지막 식은 이미 완전제곱인수가 보이는 형태라 √(144×5)=12√5로 정리했다.
이어 √288을 제곱해 (12√2)²=144×2=288로 검산하게 했다. 정답을 기억해서 적은 것인지 확인하려면 숫자만 바꾸는 데 그치지 않고, 근호 앞에 음수를 붙이거나 완전제곱인수를 식 안에 직접 제시하는 변화가 필요하다. 학생이 문제를 읽은 뒤 곧바로 “곱으로 분해하고 완전제곱인수를 찾는다”고 행동하면, √72의 답을 외운 것이 아니라 같은 수학적 기준을 새 조건에서 꺼내 쓴 것으로 볼 수 있다.