학생이 풀이 노트에 √72=6√2라고 적은 뒤, 옆에 “36이 있으므로 6을 밖으로 꺼냈다”고 썼다. 답 자체는 맞지만, 다음 줄의 √48에서는 4만 찾아 2√12로 멈췄다. 명일동 중3수학과외에서 확인할 부분은 계산 속도보다 근호 안의 수를 어떻게 분해했고, 그 결과를 어떤 방식으로 검산했는가에 있다.
√72에서 36을 고른 근거를 말할 수 있는가
학생은 근호 안에서 제곱수가 보이면 바로 그 수의 제곱근을 꺼내는 방식으로 풀고 있었다. 그래서 √72에서는 36을 찾아 6√2를 만들었지만, √48에서는 4만 사용했다. 이때의 문제는 답을 외웠는지가 아니라, 근호 안을 “완전제곱수 × 남는 수”의 형태로 바꾸는 과정이 안정되어 있지 않다는 데 있다.
√72는 다음처럼 정리할 수 있다.
√72=√(36×2)=√36×√2=6√2
여기서 36은 72의 약수이면서 완전제곱수다. 72=4×18로 나누어도 2√18이 되고, 다시 18=9×2로 나누어 최종적으로 6√2를 얻는다. 그러나 처음부터 가장 큰 완전제곱인수 36을 찾으면 불필요한 단계를 줄일 수 있다. 학생에게는 “무슨 수를 꺼낼까?”보다 “근호 안을 완전제곱수와 남는 인수로 만들었는가?”를 먼저 확인하게 했다.
√48에서 2√12로 멈춘 풀이를 다시 연결하기
학생이 쓴 √48=2√12는 틀린 변형은 아니다. 다만 √12 안에 다시 4라는 완전제곱인수가 남아 있으므로 간단히 한 단계가 끝난 것이 아니다.
√48=√(4×12)=2√12=2√(4×3)=2×2√3=4√3
수정할 때는 처음 식 옆에 ‘남은 근호 안에 4, 9, 16, 25 등이 있는가?’라는 확인 문장을 적게 했다. 학생은 √12를 보고 12를 소인수분해한 뒤, 12=4×3으로 다시 나누었다. 이 행동은 단순히 답을 다시 외우는 것과 다르다. 근호 안에 완전제곱인수가 더 있는지 직접 조사하는 절차이기 때문이다.
완전제곱인수와 제곱근의 곱을 분리하기
근호를 풀 때 학생이 자주 하는 또 다른 행동은 √(36×5)를 36√5로 적는 것이다. 완전제곱수 36 자체가 근호 밖으로 나오는 것이 아니라, 그 제곱근인 6이 나온다는 점을 식으로 확인해야 한다.
√(36×5)=√36×√5=6√5
반대로 6√5를 다시 제곱하면 (6√5)²=36×5=180이다. 원래 근호의 수와 같아지므로 풀이가 맞았는지 확인할 수 있다. 이 학생에게는 결과를 보고 “맞는 것 같다”고 판단하지 않고, 간단히 만든 식을 제곱하여 원래 수를 되돌리는 검산을 붙이도록 했다.
근호 안의 수를 완전제곱수×남는 인수로 나눈다. 완전제곱수의 제곱근만 밖으로 옮긴다. 남은 근호 안에 다시 완전제곱인수가 없는지 확인한다.
소인수분해가 필요한 순간과 바로 찾을 수 있는 순간
√200처럼 수가 크더라도 무조건 모든 소인수를 길게 적을 필요는 없다. 200=100×2이므로 √200=10√2로 정리된다. 반면 √180은 100×1.8처럼 정수 인수분해가 되지 않으므로 180=36×5 또는 9×20을 살펴보는 편이 정확하다.
학생은 이전에 √180을 √(18×10)으로 나누고 3√20에서 멈췄다. 이를 3√(4×5)=6√5까지 이어 갔다. 수정 행동은 수를 나눈 뒤 결과만 적는 것이 아니라, 각 단계에서 ‘완전제곱인수를 모두 꺼냈는가’를 표시하는 것이다. 180=36×5를 선택하면 √180=6√5이고, 검산은 (6√5)²=180으로 끝난다.
명일동 생활권에서 과제 순서를 점검하는 방법
명일동 주소 기준으로 확인된 중학교는 없으며, 강동중학교·강명중학교·강빛중학교·강일중학교·고덕중학교는 같은 강동구의 참고 학교다. 이 학교들을 명일동 소재 학교로 단정하기보다, 실제 학생의 귀가 시각과 학교 과제량을 기준으로 근호 문제를 배치하는 편이 현실적이다. 예를 들어 귀가 후 시간이 짧은 날에는 √72, √48처럼 한 번의 분해와 검산이 가능한 문항을 먼저 다루고, 시간이 확보된 날에는 √180, √200처럼 여러 완전제곱인수를 비교하게 한다.
과제 확인도 정답 개수만 세지 않는다. 풀이 옆에 ① 완전제곱인수 표시 ② 밖으로 나온 수 확인 ③ 남은 근호 점검 ④ 제곱 검산의 네 흔적이 있는지 살핀다. 답이 맞아도 이 과정이 비어 있으면 숫자를 바꾼 문제에서 다시 멈출 가능성이 있기 때문이다.
숫자가 바뀐 문제에서 혼자 시작하는지 확인하기
다음 학습에서 학생에게 √252를 제시하자 처음에는 252를 4×63으로 나누려 했다. 이번에는 곧바로 멈추지 않고 63 안에 9가 있다는 점을 찾아 252=36×7로 다시 정리했다.
√252=√(36×7)=6√7
이후 학생은 결과를 제곱하여 (6√7)²=36×7=252라고 확인했다. 같은 √72를 반복해 맞힌 것이 아니라 숫자와 남는 인수가 바뀐 문제에서 첫 행동을 스스로 꺼냈다는 점이 검증 내용이다. √98에서도 98=49×2를 찾아 7√2로 만들고, √320에서는 320=64×5를 찾아 8√5로 정리한다면 완전제곱인수를 찾는 기준이 특정 답에 묶이지 않았다고 볼 수 있다.
중3수학에서 근호 계산의 완성 여부는 밖으로 숫자를 꺼내는 데서 끝나지 않는다. 어떤 완전제곱인수를 선택했는지, 남은 근호를 다시 살폈는지, 제곱으로 원래 수를 되돌렸는지를 학생 자신의 풀이에 남길 수 있어야 한다.