둔촌동중3수학과외, 근호 안 완전제곱인수의 의미부터 확인하기
학생이 다음 두 식을 보고 빠르게 답을 적었다.
√12 = 2√3, √18 = 3√2
첫 번째 식은 맞지만 두 번째 식은 맞지 않는다. 18은 9×2이므로 √18=3√2가 맞아 보이지만, 실제로 √18=√(9×2)=3√2이므로 이 두 식 자체는 모두 정확하다. 문제는 학생이 왜 12에서는 4를 꺼내고, 18에서는 9를 꺼내는지 설명하지 못했다는 데 있었다. 숫자가 조금 바뀌면 √48을 4√3으로 바꾸면서도 √20을 2√5로 바꾸는 과정에서는 멈추는 식이다.
둔촌동중3수학과외에서는 근호 계산을 단순히 ‘답을 간단히 만드는 과정’으로만 다루지 않는다. 근호 안에 있는 수를 완전제곱인수와 나머지 인수로 나누고, 제곱근의 성질이 적용되는 조건을 확인한 뒤 계산 결과가 어떤 의미인지 말할 수 있어야 다음 문제에서도 흔들리지 않는다.
√72에서 6을 꺼낸 뒤 무엇을 확인해야 하는가
학교 과제에서 학생은 √72를 보고 “72에서 제곱수는 36이니까 6√2”라고 적었다. 결과는 옳다. 그러나 풀이를 살펴보니 72를 36×2로 나누었다는 표시가 없었고, √72=√36×√2라고 바로 썼다. 이때 학생에게 먼저 물은 것은 답이 맞는지가 아니라 “36은 왜 꺼낼 수 있고, 2는 왜 남겨 두었는가”였다.
72=36×2이고, 36은 완전제곱수이므로
√72=√(36×2)=√36×√2=6√2
가 된다. 여기서 √36=6이라는 계산과, √(36×2)=√36×√2로 분리하는 성질은 서로 다른 판단이다. 36이 완전제곱수라는 사실은 계산에 필요한 조건이고, 2를 근호 안에 남기는 것은 더 이상 꺼낼 수 있는 제곱인수가 없기 때문이다.
학생은 처음에 “근호 밖으로 숫자를 빼는 공식”이라고 설명했다. 이 표현을 “근호 안에서 완전제곱인수를 찾아 제곱근을 계산한다”로 바꾸게 했다. 말이 달라지자 풀이 순서도 달라졌다. 먼저 72의 인수 중 36을 표시하고, 남은 인수가 2인지 확인한 뒤 결과를 적었다.
완전제곱인수가 있다고 항상 같은 방식으로 처리하지 않는다
다음 문제에서는 형태를 바꾸어 √(25×7)을 제시했다. 학생은 25를 보고 곧바로 5를 적었지만, 식 전체를 다시 확인하지 않았다. 이 경우에도
√(25×7)=√25×√7=5√7
이다. 다만 √7은 정수가 아니므로 7을 근호 밖으로 옮길 수 없다. ‘제곱수는 모두 밖으로 보낸다’가 아니라 ‘완전제곱인수의 제곱근만 밖으로 옮긴다’고 구분해야 한다.
반대로 √(4×9×5)는 4와 9가 각각 완전제곱수이므로
√(4×9×5)=√4×√9×√5=2×3×√5=6√5
가 된다. 학생이 4만 찾고 9를 남겨 두면 2√45라는 중간식에 머물 수 있다. 이 식도 값은 같지만, √45=3√5까지 다시 정리해야 가장 간단한 형태가 된다. 따라서 풀이가 끝났는지는 근호 밖으로 하나를 꺼냈는지가 아니라, 근호 안에 완전제곱인수가 남아 있는지 확인하는 것으로 판단한다.
음수가 들어오면 계산 전에 적용 조건부터 분리한다
학생이 특히 오래 멈춘 문항은 √(-16)이었다. 앞에서 √16=4를 계산했던 기억 때문에 -4라고 쓰려 했지만, 실수 범위의 제곱근에서는 음수의 제곱근을 구할 수 없다. 어떤 실수 x도 x²=-16이 될 수 없기 때문이다.
이 장면에서는 완전제곱인수 계산보다 먼저 ‘이 근호가 실수 범위에서 정의되는가’를 확인하게 했다. √16은 4이지만 √(-16)은 실수가 아니다. 또한 √((-4)²)=4이지 -4가 아니다. 제곱근 기호는 약속상 음이 아닌 값을 나타내므로, 근호 안의 수가 양수인지와 제곱근의 값을 음수로 바꿔도 되는지는 별개의 문제다.
학생이 이후 √(49×3)에서는 7√3을, √(-49×3)에서는 실수 범위에서 계산할 수 없음을 각각 말하게 한 것은 이 두 판단을 분리했기 때문이다. 단순 계산을 반복하기보다 식을 보자마자 ‘정의되는가, 완전제곱인수는 무엇인가, 남은 인수는 더 줄일 수 있는가’를 순서대로 표시했다.
답을 적기 전 세 칸으로 나누어 확인하기
- 근호 안의 수가 실수 범위에서 제곱근을 가질 수 있는지 확인한다.
- 완전제곱인수를 찾아 곱의 형태로 분해한다.
- 근호 밖으로 옮긴 뒤 근호 안에 제곱인수가 남았는지 다시 살핀다.
예를 들어 √200은 200=100×2이므로 √200=10√2이다. 학생에게 10√2를 다시 제곱해 원래 수와 같은지 확인하게 하면 (10√2)²=100×2=200이 된다. 이 검산은 단순히 답을 외웠는지 확인하는 절차가 아니다. 어떤 완전제곱인수를 꺼냈는지, 남은 인수를 잘못 바꾸지 않았는지를 스스로 확인하는 방법이다.
둔촌동에서는 동북중학교, 둔촌중학교, 한산중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 강동중학교와 강명중학교는 같은 강동구의 참고 학교다. 둔촌청구아파트와 둔촌동진흥아파트 등 생활권에서 귀가한 뒤 과제와 시험 준비를 이어 가는 학생이라면, 긴 문제집 진도보다 그날 틀린 근호 한두 문제에서 ‘왜 이 인수를 꺼냈는가’를 설명하는 시간이 더 직접적인 점검이 될 수 있다.
숫자를 바꾼 문제에서 설명이 다시 나오는지 확인한다
며칠 뒤 √(98×2)를 제시하자 학생은 처음에는 7√2라고 적었다. 그러나 98×2=196이고 √196=14이므로, 이 식의 정확한 정리는 14이다. 학생은 98 안의 49만 보고 7√(2×2)를 끝까지 정리하지 않은 것이다.
이번에는 곱을 먼저 계산하지 않고 두 방법을 비교했다.
√(98×2)=√196=14
또는 98=49×2이므로
√(49×2×2)=7√4=14
두 결과가 일치하자 학생은 “완전제곱인수 하나를 찾는 데서 끝나는 것이 아니라, 남은 인수끼리 다시 제곱을 만들 수 있는지도 봐야 한다”고 설명했다. 숫자와 식의 모양이 달라진 상황에서 이 판단을 도움 없이 꺼냈다면, 답을 기억한 것이 아니라 근호 안의 구조를 읽고 있는지 확인할 수 있다.