둔촌동중1수학과외, 소수와 합성수 서술형에서 식보다 근거를 완성하는 연습
“18은 2와 9로 나누어떨어지므로 합성수이다.”
이 답은 결론 자체는 맞지만, 서술형에서는 충분한 근거로 인정되지 않을 수 있다. 18이 2와 9의 곱으로 나타난다는 사실만 쓴 것인지, 1과 자기 자신 이외의 약수를 실제로 확인한 것인지가 분명하지 않기 때문이다. 둔촌동중1수학과외에서 소수와 합성수를 다룰 때에는 정답을 맞히는 데서 멈추지 않고, 왜 그렇게 판단했는지를 식과 문장으로 연결하는 훈련이 필요하다.
숫자를 보고 바로 분류하는 습관
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 문제를 읽자마자 17, 21, 29, 35 중 가장 큰 수부터 비교하고 “17은 소수, 21은 합성수”처럼 답만 빠르게 적는다. 그런데 문제에 “이유를 쓰시오”라는 조건이 붙으면 다음과 같이 쓴다.
21은 3으로 나누어지므로 합성수이다.
이 문장은 방향은 맞지만, 소수와 합성수의 정의를 사용했다는 설명이 약하다. 소수는 1보다 큰 자연수 중 약수가 1과 자기 자신뿐인 수이고, 합성수는 1과 자기 자신 이외의 약수를 가지는 수이다. 따라서 21=3×7 또는 21의 약수 중 1과 21 이외에 3과 7이 있음을 제시하면 판단의 근거가 분명해진다.
반대로 17을 소수라고 할 때에는 “17은 소수이다”라고 되풀이하는 것이 아니라, 17이 1과 17 이외의 약수를 갖지 않는다는 점을 확인해야 한다. 17보다 작거나 같은 수를 무작정 모두 나눌 필요는 없다. 2, 3, 4처럼 가능한 약수를 점검하고, 17이 2와 3으로 나누어떨어지지 않으며 4 역시 약수가 아님을 확인한 뒤 약수가 1과 17뿐이라고 정리할 수 있다.
중간식을 남겨야 틀린 줄을 찾을 수 있다
현재 학생은 문장제의 계산은 할 수 있지만, 구할 것과 주어진 조건을 식으로 옮기는 첫 단계가 불안정하다. 교과서 예제와 숫자가 달라지면 정답을 맞히기 위해 중간식을 두세 단계 건너뛰고, 틀린 뒤에는 오답노트에 문제와 정답만 다시 적는다. 이 방식에서는 소수 판정에서 약수를 잘못 찾은 것인지, 합성수의 정의를 문장으로 쓰지 않은 것인지 구분하기 어렵다.
예를 들어 다음 문제를 보자.
36의 약수 중 소수인 것을 모두 쓰고, 36이 합성수인 이유를 설명하시오.
먼저 36의 약수를 나열하면 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이다. 그중 소수는 2와 3이다. 이때 “36의 소수 약수는 2, 3이다”라고 쓰는 것과 “36은 2×18 또는 3×12로 나타낼 수 있으므로 1과 36 이외의 약수를 가지며 합성수이다”라고 쓰는 것은 다르다. 전자는 일부 답이고, 후자는 합성수라는 결론의 근거까지 포함한다.
수정할 때는 답안 옆에 세 칸을 만든다. 첫 칸에는 주어진 수, 둘째 칸에는 약수나 곱셈식, 셋째 칸에는 판단 문장을 적는다.
- 주어진 수: 36
- 확인한 식: 36=2×18, 36=3×12
- 판단: 1과 36 이외의 약수가 있으므로 36은 합성수
소수 문제라면 둘째 칸에 확인한 나눗셈을 적고, 셋째 칸에 “1과 자기 자신 이외의 약수가 없으므로 소수”라고 연결한다. 1을 소수로 분류하는 오답도 자주 나타나므로, 수의 범위가 1보다 큰 자연수인지 먼저 표시한다. 1은 약수가 1 하나뿐이어서 소수도 합성수도 아니다.
질문 한 문장으로 바꾸는 서술형 점검
답안을 쓴 뒤 “내 식이 어떤 정의를 보여 주는가?”라고 묻는 대신, 학생이 실제로 도움을 요청할 때는 질문을 한 문장으로 구체화한다.
36=4×9를 썼는데, 이것만으로 합성수의 근거가 되는지, 약수까지 모두 써야 하는지 모르겠습니다.
이 질문에는 계산 결과보다 서술 기준이 드러난다. 단순히 “소수와 합성수가 어려워요”라고 말하는 것보다 어느 식이 부족한지 확인할 수 있다. 답안을 고칠 때는 이미 맞힌 계산 전체를 처음부터 다시 베끼지 않고, 근거가 빠진 줄에 밑줄을 긋고 그 아래에 정의와 연결 문장만 보충한다.
다음 날에는 숫자와 조건을 바꿔 확인한다
같은 36번 문제를 바로 다시 맞혔다고 해서 독립적으로 적용했다고 보기는 어렵다. 다음 날에는 숫자를 45로 바꾸고 조건을 추가한다.
45의 약수 중 소수인 것을 모두 쓰고, 45가 합성수임을 두 가지 곱셈식으로 설명하시오.
학생은 45의 약수 1, 3, 5, 9, 15, 45를 확인하고 소수 약수로 3과 5를 고른다. 이어 45=3×15, 45=5×9를 써서 1과 45 이외의 약수가 있음을 설명해야 한다. 이때 45=1×45만 쓰는 것은 합성수의 근거가 되지 않는다. 1과 자기 자신을 제외한 약수를 보여 주어야 하기 때문이다.
일주일 뒤에는 표현을 바꿔 “다음 중 소수인 수를 고르고, 고르지 않은 수가 합성수라면 근거를 쓰시오”와 같은 문제를 제시한다. 숫자만 보고 답을 고르는지, 각 수에 대해 약수·곱셈식·판단 문장을 연결하는지 확인한다. 시간 제한을 둘 경우에도 계산을 생략하는 대신 핵심 중간식만 남기게 한다. 틀렸다면 정답을 알려 주기보다 소수 판정 단계, 약수 확인 단계, 서술 근거 단계 중 어디에서 오류가 시작됐는지 스스로 표시하게 한다.
둔촌동에서는 동북중학교, 둔촌중학교, 한산중학교가 지역 내 중학교로 확인되며 강동중학교와 강명중학교는 같은 강동구의 참고 학교다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다는 귀가 후 숙제를 시작하는 시각과 학교 프린트의 서술형 문항을 언제 다시 확인할지 정해 두는 편이 실질적이다. 소수와 합성수 문제는 오답노트의 분량보다, 정의를 식과 문장으로 끝까지 연결했는지가 학습 상태를 보여 준다.