고덕동중3수학과외, 제곱근 근삿값에서 조건을 판별하는 연습
√7을 2.6이라고 쓴 답, 어디까지 맞는가
고덕동의 한 중3 학생은 “√7의 근삿값을 구하시오”라는 문제에 2.6이라고 적었다. 계산기를 사용하면 √7≈2.6457이므로 2.6 자체가 완전히 틀린 수는 아니다. 하지만 문제에서 요구한 것이 소수 첫째 자리까지의 근삿값인지, 소수 둘째 자리까지인지, 또는 두 정수 사이의 범위를 찾는 것인지에 따라 답과 풀이가 달라진다.
이 학생은 계산 결과를 기억해 적는 데에는 익숙했지만, 근삿값의 조건을 먼저 확인하지 않았다. 소수 첫째 자리까지라면 √7≈2.6이지만, 소수 둘째 자리까지라면 백의 자리에서 반올림하여 √7≈2.65가 된다. 같은 제곱근이라도 구하는 자리와 표현 방식이 바뀌면 필요한 판단도 달라진다.
제곱해서 양쪽을 비교하는 첫 단계
계산기를 바로 누르기 전에 √7이 어느 두 수 사이에 있는지 확인할 수 있다. 2²=4, 3²=9이므로 4<7<9이다. 따라서 2<√7<3이다. 여기서 학생이 “√7은 7의 절반이므로 3.5쯤 된다”고 말한 적이 있었는데, 제곱근은 원래 수를 2로 나누는 계산이 아니다. 제곱하여 7이 되는 양수를 찾는 과정이다.
소수 첫째 자리까지 범위를 좁히려면 2.6과 2.7을 비교한다.
2.6²=6.76, 2.7²=7.29
따라서 6.76<7<7.29이므로 2.6<√7<2.7이다. 이 단계만으로도 √7의 소수 첫째 자리 근삿값이 2.6인지 2.7인지 판단할 수 있다. √7은 2.6에 더 가깝다. 실제로 √7≈2.6457이므로 소수 첫째 자리까지는 2.6이다.
근삿값의 자리 조건을 읽고 반올림하기
학생이 두 번째로 멈춘 부분은 “소수 둘째 자리까지”라는 조건이었다. 2.64와 2.65를 제곱하면 다음과 같다.
2.64²=6.9696, 2.65²=7.0225
그러므로 2.64<√7<2.65이다. 더 정확한 값은 2.6457…이므로 소수 둘째 자리까지 나타낼 때는 셋째 자리 숫자 5를 보고 2.65로 반올림한다. 단순히 앞의 두 자리만 잘라 2.64라고 쓰면 근삿값의 표현 조건을 충족하지 못한다.
이때 풀이 노트에는 “구할 자리보다 한 자리 더 계산하고, 그 숫자로 반올림 판단”이라고 적도록 했다. 학생은 이전에 √7≈2.65를 적고도 왜 2.65인지 설명하지 못했지만, 이제는 2.64와 2.65를 제곱해 위치를 확인한 뒤 2.6457…에서 반올림했다고 말할 수 있게 되었다.
√a와 a의 제곱근을 혼동하지 않기
근삿값 문제에서는 기호의 뜻도 확인해야 한다. √7은 양의 제곱근만 나타내므로 √7≈2.65라고 쓴다. 반면 “7의 제곱근”이라고 하면 제곱해서 7이 되는 수인 ±√7을 뜻한다. 따라서 7의 제곱근을 소수 둘째 자리까지 나타내면 약 ±2.65이다.
학생은 “제곱근이니까 ±2.65”라고 모든 문제에 같은 표시를 붙였는데, 이는 √7과 7의 제곱근을 구분하지 않은 행동이다. 수정할 때는 식 앞의 기호를 먼저 읽고, √가 이미 붙어 있는지 확인한다. √7에서는 음의 값이 포함되지 않으며, x²=7의 해를 묻는 경우에만 x=±√7로 정리한다.
고덕동 통학 일정 속에서도 짧게 확인하는 풀이 기록
고덕동에는 고덕중학교, 명일중학교, 배재중학교가 있고, 강동구 안에는 강동중학교와 강명중학교가 참고 학교로 확인된다. 이 학교들을 동일한 지역 소재 학교로 단정할 수는 없지만, 중학교에서 고등학교로 넘어가며 통학과 과제 시간이 달라질 때 짧은 수학 기록으로 개념을 점검하는 방식은 유용하다. 고덕주공6단지와 고덕주공9단지 등 생활권에서 이동한 뒤에도 긴 문제집 풀이보다 한 문항의 조건과 검산을 정확히 남기는 편이 현재 오류를 찾는 데 도움이 된다.
학생에게는 다음 세 줄을 풀이 옆에 적게 했다.
- 어느 자리까지 구하는가?
- 그 자리보다 한 자리 더 계산했는가?
- 제곱해서 원래 수의 양쪽을 확인했는가?
숫자가 바뀐 새 문제에서 독립적으로 확인하기
다음 시간에는 √13을 소수 둘째 자리까지 나타내게 했다. 학생은 먼저 3²=9, 4²=16을 써서 3<√13<4임을 확인했다. 이어 3.60²=12.96, 3.61²=13.0321을 계산하여 3.60<√13<3.61로 좁혔다. √13≈3.6055…이므로 소수 둘째 자리까지는 3.61이다.
이번에는 이전 답을 외워 적지 않고, 구할 자리보다 한 자리 더 본 뒤 반올림했다. 또한 “√13의 근삿값”에는 ±를 붙이지 않고, “13의 제곱근”을 묻는다면 ±3.61이라고 달라진다는 점도 구분했다. 새 수에서 첫 행동인 조건 확인과 제곱 비교가 도움 없이 다시 나온다면, 근삿값을 계산한 것이 아니라 제곱근의 의미와 근삿값의 조건을 함께 적용한 것으로 볼 수 있다.