역삼동중1수학과외, 문장제의 숫자를 모두 쓰지 않고 방정식으로 바꾸는 연습
“사과 3개는 개당 800원이고, 집에 있던 2,000원을 더해 모두 5,600원을 사용했다.” 이 문제를 본 한 중1 학생은 3, 800, 2,000, 5,600을 모두 식에 넣으려 했다. 그러나 문제에 제시된 숫자를 빠짐없이 사용하는 것이 목표는 아니다. 구하려는 양과 그 양을 결정하는 관계를 골라 식으로 옮기는 것이 문장제 풀이의 시작이다.
역삼동에는 역삼중학교와 진선여자중학교가 있고, 같은 강남구의 개원중학교·개포중학교·구룡중학교는 참고할 수 있는 학교다. 학교마다 범위와 수행평가 일정이 다를 수 있으므로, 학원 숙제와 학교 공부가 겹치는 시기에는 문제를 많이 푼 날짜보다 어떤 정보를 골라 식을 세웠는지를 기록하는 편이 실제 학습 상태를 확인하기 쉽다.
숫자보다 먼저 지워야 할 정보
문장제를 읽을 때 학생이 자주 하는 행동은 숫자에 동그라미를 친 뒤 등장 순서대로 식에 넣는 것이다. 예를 들어 “민수는 12,000원을 가지고 있었고, 문구점에서 공책 3권을 각각 1,500원에 샀다. 문구점은 학교에서 400m 떨어져 있으며, 집에 돌아오는 길에 친구를 만났다. 민수에게 남은 돈은 얼마인가?”라는 문제에서 400m와 친구를 만났다는 내용은 돈의 계산과 관계가 없다.
먼저 문장 옆에 ‘구할 것’을 짧게 쓴다. 이 문제에서는 ‘남은 돈’이다. 다음으로 돈과 직접 연결되는 수량만 남긴다.
- 처음 가진 돈: 12,000원
- 공책의 개수: 3권
- 공책 한 권의 가격: 1,500원
- 구할 것: 남은 돈
공책값은 1,500×3=4,500원이고, 남은 돈은 12,000-4,500=7,500원이다. 만약 공책 한 권의 가격을 x원이라고 정한 문제라면 12,000-3x가 남은 돈을 나타낸다. 문장에 나온 모든 숫자를 식에 넣는 것이 아니라, 같은 단위와 같은 상황에 속한 수량만 연결해야 한다.
방정식은 이항 순서를 외우는 문제가 아니다
방정식 문장제에서 “어떤 수에 7을 더했더니 19가 되었다”를 읽고 학생이 곧바로 x=19-7이라고 쓰는 경우가 있다. 답은 맞을 수 있지만, 왜 7을 빼는지 설명하지 못하면 숫자나 문장 표현이 바뀌었을 때 다시 막힌다.
구하려는 수를 x라고 두면 ‘어떤 수에 7을 더함’은 x+7이다. ‘19가 됨’은 그 결과가 19라는 뜻이므로 x+7=19가 된다. 양변에서 7을 빼면 x+7-7=19-7이고, 따라서 x=12이다. 이것이 이항할 때 부호가 바뀐다는 암기보다 안전한 과정이다. 실제 풀이에는 다음 세 줄을 남긴다.
- 구하려는 양을 x로 둔다.
- 문장 속 관계를 식으로 만든다.
- 양변에 같은 수를 더하거나 빼어 x만 남긴다.
“어떤 수의 3배보다 5 작은 수가 16”이라면 3x-5=16이다. 여기서 학생이 3(x-5)=16으로 쓰면 ‘3배’가 수 전체에 적용되는지, 5가 3배 뒤에 빠지는지 문장을 다시 나누어 읽어야 한다. 수량 사이에 화살표를 그려 ‘어떤 수 → 3배 → 5를 뺌 → 16’ 순서를 표시하면 괄호 위치를 임의로 정하는 오류가 줄어든다.
문장 속 관계를 화살표와 표로 바꾸기
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학원 문제에서는 긴 문장을 읽고도 바로 식을 쓰지만 학교 프린트의 표현이 바뀌면 숫자를 모두 나열한다. 이때 문제를 다시 여러 번 읽게 하기보다 문장 옆에 세 칸을 만든다.
- 알고 있는 양
- 양 사이의 관계
- 구할 양
“형은 동생보다 4살 많고, 두 사람의 나이 합은 26살이다. 동생의 나이를 구하여라.”라면 동생의 나이를 x, 형의 나이를 x+4로 둔다. ‘합은 26’이라는 관계를 찾아 x+(x+4)=26으로 만든다. 학교에서 제시한 가족의 키, 운동 시간, 이동 거리 같은 정보가 추가되어도 두 나이의 합과 차이에 관계없는 숫자는 식에서 제외한다.
식을 세운 뒤에는 숫자를 대입하기 전에 문장과 식을 서로 읽어 준다. x는 동생의 나이이고 x+4는 형의 나이인지, 두 양을 더한 값이 26인지 확인한다. 이 과정을 생략하면 계산은 맞아도 답의 대상이 바뀌는 일이 생긴다.
검산은 계산 결과가 아니라 원래 문장으로 한다
방정식 x+(x+4)=26을 풀면 2x+4=26, 2x=22, x=11이다. x=11만 적고 끝내지 않고 형의 나이는 15, 두 사람의 합은 26인지 확인한다. 답이 문제의 조건에 맞는지 보는 것이 문장제 검산이다.
다음 날에는 같은 숫자를 다시 풀지 않는다. ‘어떤 수의 4배에서 3을 뺀 값이 25’, ‘어떤 수의 4배보다 3 큰 값이 25’처럼 표현을 바꾸고, 불필요한 이동 거리나 가격 정보를 섞는다. 학생은 문제를 읽으며 구할 것에 밑줄을 긋고, 관계없는 정보에 한 줄을 긋고, 수량 관계를 화살표로 만든 뒤 식을 작성한다.
예를 들어 4x-3=25에서는 x=7이고, 대입하면 4×7-3=25이다. 반면 4x+3=25에서는 x=5.5가 된다. 같은 숫자라도 ‘작은’과 ‘큰’의 위치가 달라지면 식이 달라진다는 점을 새 조건에서 확인할 수 있다. 숫자 변경, 괄호 위치 변경, 단위가 포함된 문장으로 바꾸었을 때도 관계없는 정보를 제외하고 식을 세운다면 이전 풀이를 외운 것이 아니라 문제를 읽어 방정식으로 전환한 것이다.
역삼동중1수학과외에서 기록할 풀이 흔적
학습 기록에는 정답 개수만 적지 않고 ‘불필요한 숫자를 식에 넣음’, ‘구할 양을 정하지 않음’, ‘관계는 맞지만 식의 순서를 바꿈’, ‘검산에서 원래 조건을 확인하지 않음’처럼 오답 원인을 남긴다. 평일 귀가 시간과 학교 프린트, 학원 숙제가 겹칠 때도 한 문제를 풀고 관계없는 정보에 표시했는지, x의 의미를 설명했는지, 원문에 대입했는지를 확인하면 짧은 시간에도 문장제 풀이의 변화를 구체적으로 볼 수 있다.
새로운 숫자와 다른 문장 표현에서도 필요한 수량만 골라 방정식을 세우고, 풀이 뒤 원래 조건으로 검산하는 행동이 유지될 때 비로소 이 훈련을 다음 유형으로 넓힐 수 있다.